O ponto da curva y=\frac{1}{x}, x>0, cuja distância à origem é mínima tem coordenadas:
x=\square \text { e } y=\square

Passo 1

O enunciado pede o ponto da curva y=\frac{1}{x}, com x>0, que minimiza a distância até a origem (0,0). Isto é um problema de otimização unidimensional em que vamos escrever a distância ao quadrado — para simplificar os cálculos — e usar derivada para encontrar o mínimo.

Passo 2

Chamemos de D(x) a distância entre o ponto \bigl(x,\tfrac1x\bigr) e a origem. Como minimizar D(x) é equivalente a minimizar D(x)^2, definimos
D(x)^2 = x^2 + \bigl(\tfrac1x\bigr)^2 = x^2 + \frac{1}{x^2}.

Passo 3

Calculamos a derivada de D(x)^2 em relação a x:
\frac{d}{dx}\bigl(x^2 + x^{-2}\bigr) = 2x - 2x^{-3}.
Para encontrar extremos, igualamos a zero:
2x - 2x^{-3} = 0.

Passo 4

Da equação 2x - 2x^{-3}=0 vem
x - x^{-3} = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^4 = 1.
Como x>0, temos x=1. Além disso, a segunda derivada
\frac{d^2}{dx^2}\bigl(x^2 + x^{-2}\bigr) = 2 + 6x^{-4} >0
confirma que é mesmo um mínimo.

Passo 5

No ponto x=1, a ordenada é
y = \frac{1}{x} = 1.

Resposta

x=1 e y=1

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