O ponto da curva
, cuja distância à origem é mínima tem coordenadas:
Passo 1
O enunciado pede o ponto da curva
, com
, que minimiza a distância até a origem
. Isto é um problema de otimização unidimensional em que vamos escrever a distância ao quadrado — para simplificar os cálculos — e usar derivada para encontrar o mínimo.
Passo 2
Chamemos de
a distância entre o ponto
e a origem. Como minimizar
é equivalente a minimizar
, definimos
Passo 3
Calculamos a derivada de
em relação a
:
Para encontrar extremos, igualamos a zero:
Passo 4
Da equação
vem
Como
, temos
. Além disso, a segunda derivada
confirma que é mesmo um mínimo.
Passo 5
No ponto
, a ordenada é