1. \int e^{x^{2}+4 x+3}(x+2) d x \quad \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\left(\operatorname{resp} . \quad \frac{1}{2} \exp \left(x^{2}+4 x+3\right)+C\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int e^{x^{2}+4x+3}(x+2)\,dx
O conteúdo aqui é reconhecer uma substituição direta baseada na derivada do expoente da função exponencial.

Passo 2

Observamos que o expoente é x^{2}+4x+3. Vamos ver a sua derivada:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}+4x+3\bigr) = 2(x+2).
Ou seja, x+2 = \tfrac{1}{2}\,\frac{d}{dx}(x^{2}+4x+3).

Passo 3

Reescrevemos a integral usando esse fato:
\int e^{x^{2}+4x+3}(x+2)\,dx = \int e^{x^{2}+4x+3}\cdot \frac{1}{2}\,\frac{d}{dx}(x^{2}+4x+3)\,dx.

Passo 4

Fazendo a substituição u = x^{2}+4x+3, vem du = 2(x+2)\,dx, logo
(x+2)\,dx = \tfrac{1}{2}\,du.
Assim a integral fica
\int e^{u}\,\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int e^{u}\,du = \frac{1}{2}e^{u} + C.

Resposta

\frac{1}{2}\exp\bigl(x^{2}+4x+3\bigr) + C

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