1. \int x a^{x^{2}} d x, \quad a>0 \quad \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\left(\operatorname{resp} . \quad \frac{a^{x^{2}}}{2 \ln a}+C\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int x\,a^{x^{2}}\,dx,\quad a>0
O conteúdo principal aqui é usar substituição para aproveitar a derivada de x^2 dentro do integrando.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^2 \quad\Longrightarrow\quad du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{2}.
Assim a integral vira
\int x\,a^{x^{2}}\,dx = \int a^u \,\frac{du}{2} = \frac12\int a^u\,du.

Passo 3

Usamos a fórmula de integração de potência exponencial
\int a^u\,du = \frac{a^u}{\ln a} + C.
Logo
\frac12\int a^u\,du = \frac12\cdot\frac{a^u}{\ln a} + C = \frac{a^u}{2\ln a} + C.

Passo 4

Voltando à variável original x, temos u = x^2, portanto
\int x\,a^{x^{2}}\,dx = \frac{a^{x^2}}{2\ln a} + C.

Resposta

\frac{a^{x^2}}{2\ln a} + C.

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