1. \int \frac{(x+1) d x}{x^{2}+2 x+3} \quad \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\left(\right. resp. \left.\frac{1}{2} \ln \left(x^{2}+2 x+3\right)+C\right)

Passo 1

Resumindo a questão 22, temos a integral de uma função racional
\int \frac{x+1}{x^2+2x+3}\,dx.
O plano é observar que a derivada do denominador x^2+2x+3 é 2x+2=2(x+1), e então usar a substituição u = x^2+2x+3.

Passo 2

Fazendo
u = x^2+2x+3,
temos
du = (2x+2)\,dx = 2(x+1)\,dx \quad\Longrightarrow\quad (x+1)\,dx = \frac{1}{2}\,du.
Logo a integral vira
\int \frac{x+1}{x^2+2x+3}\,dx = \int \frac{1}{u}\,\frac{1}{2}\,du = \tfrac12 \int \frac{1}{u}\,du = \tfrac12 \ln|u| + C.
Como x^2+2x+3>0 para todo x, podemos omitir as barras de valor absoluto e ficar com
\tfrac12 \ln(x^2+2x+3) + C.

Passo 3

Na questão 23, queremos calcular
\int \frac{\cos x}{2\sin x +3}\,dx.
De novo notamos que a derivada de 2\sin x+3 é 2\cos x, o que sugere a mesma estratégia de substituição.

Passo 4

Defina
u = 2\sin x+3,
então
du = 2\cos x\,dx \quad\Longrightarrow\quad \cos x\,dx = \tfrac12\,du.
Substituindo na integral,
\int \frac{\cos x}{2\sin x +3}\,dx = \int \frac{1}{u}\,\tfrac12\,du = \tfrac12 \int \frac{1}{u}\,du = \tfrac12 \ln|u| + C.
Como 2\sin x+3 oscila entre 1 e 5, também podemos tirar as barras e obter
\tfrac12 \ln(2\sin x+3) + C.

Resposta

  1. \displaystyle \tfrac12 \ln(x^2+2x+3) + C
  2. \displaystyle \tfrac12 \ln(2\sin x+3) + C

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