1. \int \frac{d x}{\sqrt{1-3 x^{2}}} \quad \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\left(\operatorname{resp} . \quad \frac{\sqrt{3}}{3} \operatorname{arcsen}(\sqrt{3} x)+C\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{dx}{\sqrt{1-3x^{2}}}
Este tipo de integral lembra a forma padrão
\int \frac{du}{\sqrt{1-u^{2}}} = \arcsin(u) + C.
Para usar esse resultado, vamos fazer uma substituição que transforme 1-3x^{2} em 1-u^{2}.

Passo 2

Definimos a nova variável
u = \sqrt{3}\,x.
Então
du = \sqrt{3}\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{\sqrt{3}},
e a expressão dentro da raiz fica
1 - 3x^{2} = 1 - u^{2}.

Passo 3

Substituindo em \displaystyle \int \! \frac{dx}{\sqrt{1-3x^{2}}}, obtemos
\int \frac{dx}{\sqrt{1-3x^{2}}} = \int \frac{\frac{du}{\sqrt{3}}}{\sqrt{1-u^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{3}}\int \frac{du}{\sqrt{1-u^{2}}}.
Pela forma padrão,
\int \frac{du}{\sqrt{1-u^{2}}} = \arcsin(u) + C.

Passo 4

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\frac{1}{\sqrt{3}}\int \frac{du}{\sqrt{1-u^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{3}}\bigl(\arcsin(u)\bigr) + C = \frac{1}{\sqrt{3}}\arcsin\bigl(\sqrt{3}\,x\bigr) + C.
Como \tfrac{1}{\sqrt{3}} = \tfrac{\sqrt{3}}{3}, podemos escrever
\frac{1}{\sqrt{3}}\arcsin(\sqrt{3}\,x) = \frac{\sqrt{3}}{3}\,\arcsin(\sqrt{3}\,x).

Resposta

\int \frac{dx}{\sqrt{1-3x^{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\,\arcsin\bigl(\sqrt{3}\,x\bigr) + C.

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