\int_{0}^{2} \int_{1}^{2}\left(x^{2}+y\right) d y d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral iterada
\int_{0}^{2} \int_{1}^{2}\left(x^{2}+y\right)\, d y\, d x.
Informações dadas:
  • A função integranda é \,x^{2}+y\,.
  • A integração interna é em y com limites y=1 até y=2.
  • A integração externa é em x com limites x=0 até x=2.
  • A notação indica que primeiro devemos integrar em y (mantendo x fixo) e depois integrar o resultado em x.

Passo 2

Conceito útil (explicação para a prova): quando temos uma integral iterada \displaystyle \int_{a}^{b}\int_{c}^{d} f(x,y)\,dy\,dx e os limites não dependem das outras variáveis (aqui são constantes), podemos integrar primeiro em y tratando x como constante. Também usamos a linearidade da integral, que diz que
\int (u+v)\,dy = \int u\,dy + \int v\,dy,
e que uma constante em relação a y pode sair da integral:
\int c\,dy = c\int 1\,dy = c\cdot y.
Fórmulas básicas que vamos usar:
\int y\,dy=\frac{y^{2}}{2},\qquad \int x^{2}\,dy = x^{2}y\quad(\text{pois }x^{2}\text{ é constante quando integramos em }y).é

Passo 3

Calculo da integral interna em y:
\int_{1}^{2}\left(x^{2}+y\right)\,dy = \int_{1}^{2} x^{2}\,dy + \int_{1}^{2} y\,dy.
Agora cada peça:
\int_{1}^{2} x^{2}\,dy = x^{2}\int_{1}^{2} 1\,dy = x^{2}\cdot(2-1)=x^{2}.
\int_{1}^{2} y\,dy = \left.\frac{y^{2}}{2}\right|_{1}^{2} = \frac{4}{2}-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}.
Somando,
\int_{1}^{2}\left(x^{2}+y\right)\,dy = x^{2}+\frac{3}{2}.

Passo 4

Agora integramos o resultado em x de 0 a 2:
\int_{0}^{2}\left(x^{2}+\frac{3}{2}\right)\,dx = \int_{0}^{2} x^{2}\,dx + \int_{0}^{2}\frac{3}{2}\,dx.
Usando \int x^{2}\,dx=\dfrac{x^{3}}{3} e \int c\,dx = c x, obtemos
\int_{0}^{2}\left(x^{2}+\frac{3}{2}\right)\,dx = \left.\frac{x^{3}}{3}\right|_{0}^{2} + \left.\frac{3}{2}x\right|_{0}^{2}.
Avaliação nos limites:
\left.\frac{x^{3}}{3}\right|_{0}^{2} = \frac{8}{3}-0=\frac{8}{3}, \qquad \left.\frac{3}{2}x\right|_{0}^{2} = \frac{3}{2}\cdot 2 - 0 = 3.
Somando as duas parcelas:
\frac{8}{3}+3 = \frac{8}{3}+\frac{9}{3}=\frac{17}{3}.

Passo 5

Verificação rápida (opcional para a prova): podemos trocar a ordem porque a região de integração é um retângulo; integrando primeiro em x teríamos o mesmo resultado. Essa verificação dá mais confiança no cálculo e é útil se, na prova, a ordem dada fosse inconveniente — aqui não é o caso, mas é um bom truque para lembrar.

Resposta

\displaystyle \frac{17}{3}

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