\int_{0}^{2} \int_{1}^{2}\left(x^{2}+y\right) d y d x
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral iterada
\int_{0}^{2} \int_{1}^{2}\left(x^{2}+y\right)\, d y\, d x.
Informações dadas:
A função integranda é \,x^{2}+y\,.
A integração interna é em y com limites y=1 até y=2.
A integração externa é em x com limites x=0 até x=2.
A notação indica que primeiro devemos integrar em y (mantendo x fixo) e depois integrar o resultado em x.
Passo 2
Conceito útil (explicação para a prova): quando temos uma integral iterada \displaystyle \int_{a}^{b}\int_{c}^{d} f(x,y)\,dy\,dx e os limites não dependem das outras variáveis (aqui são constantes), podemos integrar primeiro em y tratando x como constante. Também usamos a linearidade da integral, que diz que
\int (u+v)\,dy = \int u\,dy + \int v\,dy,
e que uma constante em relação a y pode sair da integral:
\int c\,dy = c\int 1\,dy = c\cdot y.
Fórmulas básicas que vamos usar:
\int y\,dy=\frac{y^{2}}{2},\qquad \int x^{2}\,dy = x^{2}y\quad(\text{pois }x^{2}\text{ é constante quando integramos em }y).
Verificação rápida (opcional para a prova): podemos trocar a ordem porque a região de integração é um retângulo; integrando primeiro em x teríamos o mesmo resultado. Essa verificação dá mais confiança no cálculo e é útil se, na prova, a ordem dada fosse inconveniente — aqui não é o caso, mas é um bom truque para lembrar.