Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas relevantes:
- A função integranda é
. - A raiz quadrada
exige (domínio natural da expressão). - Como é uma integral indefinida, o resultado deve conter a constante de integração
.
Passo 2
Uma ideia natural é eliminar a raiz usando a substituição
Expliquei: isso simplifica a composição
para
e transforma
numa expressão em
. Agora derivamos e substituímos:
Substituindo na integral obtemos
Passo 3
Agora vamos integrar
. Aqui é apropriado usar a fórmula de integração por partes. Lembrete da fórmula (uma verdadeira ferramenta mágica):
onde
e
são funções de
,
é a derivada de
vezes
, e
é uma antiderivada de
.
Escolhemos as partes de forma a simplificar:
Escolhemos assim porque a derivada de
fica simples e
é trivial.
Passo 4
Aplicando integração por partes:
Agora simplificamos o integrando no termo restante. Note que
Portanto
Passo 5
Calcule as integrais simples que sobraram:
Substituindo de volta na expressão de partes:
Organizando os termos:
Passo 6
Voltamos à variável original
usando
e
. Assim a primitiva fica
Uma checagem rápida (opcional, mas reconfortante): ao derivar essa expressão pelo teorema da derivada do produto e regra da cadeia, os termos
que aparecem se cancelam e sobra exatamente
, confirmando que encontramos uma antiderivada correta.