\int \arctan (\sqrt{x}) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \arctan(\sqrt{x})\,dx.
Informações dadas relevantes:
  • A função integranda é \arctan(\sqrt{x}).
  • A raiz quadrada \sqrt{x} exige x\ge 0 (domínio natural da expressão).
  • Como é uma integral indefinida, o resultado deve conter a constante de integração C.

Passo 2

Uma ideia natural é eliminar a raiz usando a substituição
t=\sqrt{x}.
Expliquei: isso simplifica a composição \arctan(\sqrt{x}) para \arctan(t) e transforma dx numa expressão em dt. Agora derivamos e substituímos:
x=t^{2}\quad\Rightarrow\quad dx=2t\,dt.
Substituindo na integral obtemos
\int \arctan(\sqrt{x})\,dx=\int \arctan(t)\cdot 2t\,dt.

Passo 3

Agora vamos integrar \int 2t\arctan(t)\,dt. Aqui é apropriado usar a fórmula de integração por partes. Lembrete da fórmula (uma verdadeira ferramenta mágica):
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde u e v são funções de t, du é a derivada de u vezes dt, e v é uma antiderivada de dv.
Escolhemos as partes de forma a simplificar:
u=\arctan(t)\quad\Rightarrow\quad du=\frac{1}{1+t^{2}}\,dt,
dv=2t\,dt\quad\Rightarrow\quad v=\int 2t\,dt=t^{2}.
Escolhemos assim porque a derivada de \arctan(t) fica simples e \int 2t\,dt é trivial.

Passo 4

Aplicando integração por partes:
\int 2t\arctan(t)\,dt = u v - \int v\,du = t^{2}\arctan(t) - \int t^{2}\cdot\frac{1}{1+t^{2}}\,dt.
Agora simplificamos o integrando no termo restante. Note que
\frac{t^{2}}{1+t^{2}} = 1 - \frac{1}{1+t^{2}}.
Portanto
\int t^{2}\cdot\frac{1}{1+t^{2}}\,dt = \int\left(1 - \frac{1}{1+t^{2}}\right)dt.

Passo 5

Calcule as integrais simples que sobraram:
\int\left(1 - \frac{1}{1+t^{2}}\right)dt = \int 1\,dt - \int \frac{1}{1+t^{2}}\,dt = t - \arctan(t).
Substituindo de volta na expressão de partes:
\int 2t\arctan(t)\,dt = t^{2}\arctan(t) - \left(t - \arctan(t)\right) + C.
Organizando os termos:
t^{2}\arctan(t) - t + \arctan(t) + C = (t^{2}+1)\arctan(t) - t + C.

Passo 6

Voltamos à variável original x usando t=\sqrt{x} e t^{2}=x. Assim a primitiva fica
(x+1)\arctan(\sqrt{x}) - \sqrt{x} + C.
Uma checagem rápida (opcional, mas reconfortante): ao derivar essa expressão pelo teorema da derivada do produto e regra da cadeia, os termos \frac{1}{2\sqrt{x}} que aparecem se cancelam e sobra exatamente \arctan(\sqrt{x}), confirmando que encontramos uma antiderivada correta.

Resposta

(x+1)\arctan(\sqrt{x}) - \sqrt{x} + C

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