\int \frac{1}{\left(1+e^{x}\right)^{2}} d x

Passo 1

O que o problema pede: calcular a integral indefinida
\int \frac{1}{\left(1+e^{x}\right)^{2}}\,dx.
Informações dadas (obtidas diretamente do enunciado): a função integranda é \dfrac{1}{(1+e^{x})^{2}}. Queremos uma primitiva (ou seja, a antiderivada) dessa função, válida para x em que a expressão faz sentido (para todo x, já que 1+e^{x}>0). Não vou resolver nada aqui ainda — apenas identifiquei o que é pedido e o que temos.

Passo 2

Estratégia inicial e substituição útil: a presença de e^{x} dentro de 1+e^{x} sugere usar a substituição
t = e^{x}.
Vou explicar por que: quando t=e^{x}, temos dt = e^{x}\,dx = t\,dx, logo dx = \dfrac{dt}{t}. Substituir transforma a exponencial em uma variável algébrica e o denominador em potências de 1+t, o que costuma facilitar com frações parciais. Aplicando a substituição na integral obtemos
\int \frac{1}{(1+e^{x})^{2}}\,dx = \int \frac{1}{(1+t)^{2}}\cdot \frac{dt}{t} = \int \frac{dt}{t(1+t)^{2}}.

Passo 3

Preparar para frações parciais: agora temos a integral racional
\int \frac{dt}{t(1+t)^{2}}.
Para integrar, vamos decompor a função racional em frações parciais. Procuramos constantes A, B, C tais que
\frac{1}{t(1+t)^{2}}=\frac{A}{t}+\frac{B}{1+t}+\frac{C}{(1+t)^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por t(1+t)^{2} para eliminar denominadores, obtemos a identidade polinomial
1 = A(1+t)^{2} + B\,t(1+t) + C\,t.

Passo 4

Encontrar A, B, C resolvendo a identidade: vou expandir e comparar coeficientes. Primeiro expando:
A(1+t)^{2} = A(1+2t+t^{2}) = A + 2A t + A t^{2},
B\,t(1+t) = B(t + t^{2}) = B t + B t^{2},
C t = C t.
Somando:
A + (2A + B + C)t + (A + B)t^{2}.
Como isso deve ser igual a 1 para todo t, igualamos coeficientes dos polinômios:
  • coeficiente constante: A = 1,
  • coeficiente de t^{2}: A + B = 0 B = -A = -1,
  • coeficiente de t: 2A + B + C = 0. Substituindo A=1 e B=-1 2\cdot 1 + (-1) + C = 0 1 + C = 0 C = -1.
Portanto
\frac{1}{t(1+t)^{2}} = \frac{1}{t} - \frac{1}{1+t} - \frac{1}{(1+t)^{2}}.

Passo 5

Integrar termo a termo: agora integramos cada parcela separadamente.
A integral original em t tornou-se
\int \left(\frac{1}{t} - \frac{1}{1+t} - \frac{1}{(1+t)^{2}}\right) dt.
Usamos fórmulas básicas:
  • \displaystyle \int \frac{1}{t}\,dt = \ln|t| + C.
  • \displaystyle \int \frac{1}{1+t}\,dt = \ln|1+t| + C.
  • \displaystyle \int \frac{1}{(1+t)^{2}}\,dt: aqui usamos a regra da potência. Para n\neq -1,
\int (1+t)^{n}\,dt = \frac{(1+t)^{n+1}}{n+1}+C.
No nosso caso n=-2, então
\int (1+t)^{-2}\,dt = \frac{(1+t)^{-1}}{-1}+C = -(1+t)^{-1}+C.
Agora aplico aos sinais:
\int \frac{1}{t}\,dt = \ln|t|,
\int -\frac{1}{1+t}\,dt = -\ln|1+t|,
\int -\frac{1}{(1+t)^{2}}\,dt = -\bigl(-(1+t)^{-1}\bigr) = (1+t)^{-1} = \frac{1}{1+t}.
Somando tudo (mais uma constante C):
\ln|t| - \ln|1+t| + \frac{1}{1+t} + C.

Passo 6

Voltar para x e simplificar: substituo t = e^{x}. Como e^{x}>0 para todo x, os módulos não alteram e obtemos
\ln(e^{x}) - \ln(1+e^{x}) + \frac{1}{1+e^{x}} + C.
Como \ln(e^{x}) = x, a expressão fica
x - \ln(1+e^{x}) + \frac{1}{1+e^{x}} + C.
Se quiser, podemos escrever o log combinado:
\ln\!\left(\frac{e^{x}}{1+e^{x}}\right) + \frac{1}{1+e^{x}} + C,
ou deixar como a forma com x explícito. Ambas são equivalentes (diferença apenas na constante de integração).

Resposta

x - \ln(1+e^{x}) + \dfrac{1}{1+e^{x}} + C

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