Passo 1
O que o problema pede: calcular a integral indefinida
Informações dadas (obtidas diretamente do enunciado): a função integranda é
. Queremos uma primitiva (ou seja, a antiderivada) dessa função, válida para
em que a expressão faz sentido (para todo
, já que
). Não vou resolver nada aqui ainda — apenas identifiquei o que é pedido e o que temos.
Passo 2
Estratégia inicial e substituição útil: a presença de
dentro de
sugere usar a substituição
Vou explicar por que: quando
, temos
, logo
. Substituir transforma a exponencial em uma variável algébrica e o denominador em potências de
, o que costuma facilitar com frações parciais. Aplicando a substituição na integral obtemos
Passo 3
Preparar para frações parciais: agora temos a integral racional
Para integrar, vamos decompor a função racional em frações parciais. Procuramos constantes
,
,
tais que
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar denominadores, obtemos a identidade polinomial
Passo 4
Encontrar
,
,
resolvendo a identidade: vou expandir e comparar coeficientes. Primeiro expando:
Somando:
Como isso deve ser igual a
para todo
, igualamos coeficientes dos polinômios:
- coeficiente constante:
, - coeficiente de
: ⇒ , - coeficiente de
: . Substituindo e dá ⇒ ⇒ .
Portanto
Passo 5
Integrar termo a termo: agora integramos cada parcela separadamente.
A integral original em tornou-se
A integral original em
Usamos fórmulas básicas:
-
. -
. -
: aqui usamos a regra da potência. Para ,
No nosso caso
, então
Agora aplico aos sinais:
Somando tudo (mais uma constante
):
Passo 6
Voltar para
e simplificar: substituo
. Como
para todo
, os módulos não alteram e obtemos
Como
, a expressão fica
Se quiser, podemos escrever o log combinado:
ou deixar como a forma com
explícito. Ambas são equivalentes (diferença apenas na constante de integração).