\int \frac{x}{\left(x^{2}+4\right)^{2}} d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int \frac{x}{\left(x^{2}+4\right)^{2}}\,dx.
Informações dadas (que vamos usar): a função a integrar é uma função racional em que o numerador é x e o denominador é \left(x^{2}+4\right)^{2}. Não há limites (é integral indefinida), então o resultado deve conter a constante de integração C.

Passo 2

Observação útil para escolher uma técnica: quando você vê algo como \left(x^{2}+4\right) no denominador e o numerador contém x, é comum tentar a substituição u = x^{2}+4, porque a derivada de x^{2}+4 é 2x — isto é, o numerador aparece (até uma constante) como a derivada do que está dentro do parênteses. Isso facilita a integral. Vamos aplicar essa ideia.

Passo 3

Faço a substituição explicitamente. Defino
u = x^{2}+4.
Derivando ambos os lados em relação a x (regra da derivada),
\frac{du}{dx} = 2x.
Isolando dx em termos de du e x temos
du = 2x\,dx \quad\Rightarrow\quad x\,dx = \frac{1}{2}\,du.

Passo 4

Reescrevo a integral original usando u. Substituindo x\,dx=\frac{1}{2}du e \left(x^{2}+4\right)=u, obtemos
\int \frac{x}{\left(x^{2}+4\right)^{2}}\,dx = \int \frac{1}{u^{2}}\left(x\,dx\right) = \int \frac{1}{u^{2}}\cdot\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int u^{-2}\,du.

Passo 5

Agora integro \frac{1}{2}\int u^{-2}\,du. Uso a regra da potência para integrais: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n=-2, então
\int u^{-2}\,du = \frac{u^{-1}}{-1} + C = -u^{-1} + C.
Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{2},
\frac{1}{2}\int u^{-2}\,du = \frac{1}{2}\left(-u^{-1}\right) + C = -\frac{1}{2}u^{-1} + C.

Passo 6

Volto à variável x substituindo u = x^{2}+4:
-\frac{1}{2}u^{-1} + C = -\frac{1}{2}\,(x^{2}+4)^{-1} + C.
Escrevendo de forma mais “fração”,
-\frac{1}{2(x^{2}+4)} + C.

Passo 7

Verificação rápida (opcional, mas boa prática): calculo a derivada da antiderivada encontrada para checar se volta ao integrando.
\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2}(x^{2}+4)^{-1}\right) = -\frac{1}{2}\cdot(-1)(x^{2}+4)^{-2}\cdot 2x = \frac{2x}{2(x^{2}+4)^{2}} = \frac{x}{(x^{2}+4)^{2}},
que é exatamente o integrando original. Portanto a antiderivada está correta.

Resposta

-\dfrac{1}{2(x^{2}+4)}+C

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