Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
Informações dadas (que vamos usar): a função a integrar é uma função racional em que o numerador é
e o denominador é
. Não há limites (é integral indefinida), então o resultado deve conter a constante de integração
.
Passo 2
Observação útil para escolher uma técnica: quando você vê algo como
no denominador e o numerador contém
, é comum tentar a substituição
, porque a derivada de
é
— isto é, o numerador aparece (até uma constante) como a derivada do que está dentro do parênteses. Isso facilita a integral. Vamos aplicar essa ideia.
Passo 3
Faço a substituição explicitamente. Defino
Derivando ambos os lados em relação a
(regra da derivada),
Isolando
em termos de
e
temos
Passo 4
Reescrevo a integral original usando
. Substituindo
e
, obtemos
Passo 5
Agora integro
. Uso a regra da potência para integrais: para
,
Aqui
, então
Multiplicando pelo fator
,
Passo 6
Volto à variável
substituindo
:
Escrevendo de forma mais “fração”,
Passo 7
Verificação rápida (opcional, mas boa prática): calculo a derivada da antiderivada encontrada para checar se volta ao integrando.
que é exatamente o integrando original. Portanto a antiderivada está correta.