sendo
o segmento de reta que liga os pontos
e
.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral de linha
onde
é o segmento de reta que liga os pontos
e
. Informações relevantes:
O integrando é a função escalar
multiplicada por
(elemento de comprimento ao longo da curva).\n
A curva
é um segmento de reta entre
e
. Não há curvatura complicada: uma parametrização linear funciona bem.\n
Precisamos parametrizar
, calcular
em função do parâmetro, substituir
no integrando e integrar no intervalo do parâmetro.
Passo 2
Parametrização do segmento de reta. Para um segmento entre
e
usamos a interpolação linear com
:
portanto
(Escolhi essa parametrização porque é a forma padrão e simples para segmentos: começa em
em
e chega em
em
.)
Passo 3
Calcular
. Temos
Pelo fato de
, obtemos
Importante: aqui
é constante em função de
porque o segmento é retilíneo e a velocidade
é constante.
Passo 4
Substituir
e
no integrando. Temos
porque
.
E
E
Mostrei passo a passo: extraí fatores comuns
e
e usei
.
Passo 5
Montar a integral em
. Substituindo e lembrando que
, obtemos
Podemos tirar
fora da integral (constante):
Passo 6
Calcular a integral do primeiro termo. Primeiro avalio
Faça a substituição
, então
e quando
temos
, quando
temos
. Assim
Multiplicando pelo fator
do integrando,
Passo 7
Calcular a integral do segundo termo. Temos
Mostrei a integração direta de polinômios:
.
Passo 8
Somar os dois resultados obtidos dentro da integral e multiplicar por
. Temos
Portanto a integral original é
Posso também escrever de forma distribuída:
porque
.