\int_{C} \sqrt{x}+2 x y d s sendo C o segmento de reta que liga os pontos (7,3) e (0,6).

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha
\int_{C} (\sqrt{x}+2xy)\,ds
onde C é o segmento de reta que liga os pontos (7,3) e (0,6). Informações relevantes:

\bullet O integrando é a função escalar f(x,y)=\sqrt{x}+2xy multiplicada por ds (elemento de comprimento ao longo da curva).\n
\bullet A curva C é um segmento de reta entre (7,3) e (0,6). Não há curvatura complicada: uma parametrização linear funciona bem.\n
\bullet Precisamos parametrizar C, calcular ds em função do parâmetro, substituir x(t),y(t) no integrando e integrar no intervalo do parâmetro.

Passo 2

Parametrização do segmento de reta. Para um segmento entre P_0=(7,3) e P_1=(0,6) usamos a interpolação linear com t\in[0,1]:
\mathbf{r}(t)=(1-t)(7,3)+t(0,6)=(7-7t,\;3+3t),
portanto
x(t)=7-7t,\qquad y(t)=3+3t,\qquad t\in[0,1].
(Escolhi essa parametrização porque é a forma padrão e simples para segmentos: começa em t=0 em (7,3) e chega em t=1 em (0,6).)

Passo 3

Calcular ds. Temos
\frac{dx}{dt}=-7,\qquad \frac{dy}{dt}=3.
Pelo fato de ds=\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt, obtemos
ds=\sqrt{(-7)^2+3^2}\,dt=\sqrt{49+9}\,dt=\sqrt{58}\,dt.
Importante: aqui ds é constante em função de t porque o segmento é retilíneo e a velocidade \sqrt{(\dot x)^2+(\dot y)^2} é constante.

Passo 4

Substituir x(t) e y(t) no integrando. Temos
\sqrt{x(t)}=\sqrt{7-7t}=\sqrt{7}\,\sqrt{1-t},
porque \sqrt{7-7t}=\sqrt{7(1-t)}=\sqrt{7}\sqrt{1-t}.
E
2x(t)y(t)=2(7-7t)(3+3t)=2\cdot7\cdot3\,(1-t)(1+t)=42(1-t^2).
Mostrei passo a passo: extraí fatores comuns 7 e 3 e usei (1-t)(1+t)=1-t^2.

Passo 5

Montar a integral em t. Substituindo e lembrando que ds=\sqrt{58}\,dt, obtemos
\int_C (\sqrt{x}+2xy)\,ds=\int_{0}^{1}\big(\sqrt{7}\sqrt{1-t}+42(1-t^2)\big)\sqrt{58}\,dt.
Podemos tirar \sqrt{58} fora da integral (constante):
=\sqrt{58}\int_{0}^{1}\big(\sqrt{7}\sqrt{1-t}+42(1-t^2)\big)\,dt.

Passo 6

Calcular a integral do primeiro termo. Primeiro avalio
\int_{0}^{1}\sqrt{1-t}\,dt.
Faça a substituição u=1-t, então du=-dt e quando t=0 temos u=1, quando t=1 temos u=0. Assim
\int_{0}^{1}\sqrt{1-t}\,dt=\int_{1}^{0}u^{1/2}(-du)=\int_{0}^{1}u^{1/2}du=\left[\frac{u^{3/2}}{3/2}\right]_{0}^{1}=\frac{2}{3}.
Multiplicando pelo fator \sqrt{7} do integrando,
\int_{0}^{1}\sqrt{7}\sqrt{1-t}\,dt=\sqrt{7}\cdot\frac{2}{3}=\frac{2\sqrt{7}}{3}.

Passo 7

Calcular a integral do segundo termo. Temos
\int_{0}^{1}42(1-t^2)\,dt=42\left[\int_{0}^{1}1\,dt-\int_{0}^{1}t^2\,dt\right] =42\left(1-\frac{1}{3}\right)=42\cdot\frac{2}{3}=28.
Mostrei a integração direta de polinômios: \int_0^1 t^2 dt = 1/3.

Passo 8

Somar os dois resultados obtidos dentro da integral e multiplicar por \sqrt{58}. Temos
\int_{0}^{1}\big(\sqrt{7}\sqrt{1-t}+42(1-t^2)\big)\,dt=\frac{2\sqrt{7}}{3}+28.
Portanto a integral original é
\sqrt{58}\left(28+\frac{2\sqrt{7}}{3}\right).
Posso também escrever de forma distribuída:
28\sqrt{58}+\frac{2}{3}\sqrt{406},
porque \sqrt{58}\cdot\sqrt{7}=\sqrt{406}.

Resposta

\sqrt{58}\left(28+\dfrac{2\sqrt{7}}{3}\right)=28\sqrt{58}+\dfrac{2}{3}\sqrt{406}

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