Sendo f: A \rightarrow \mathbb{R}, uma função definida por
f(x)=3 x^{2}+1, determine a imagem de f
sabendo que sabendo que
A=\left\{5 ;-5 ; \frac{2}{3} ; \sqrt{3} ; \sqrt{3}+1\right\}

Passo 1

O enunciado dá a função f: A \to \mathbb{R} definida por
f(x)=3x^{2}+1
e o conjunto de partida
A=\left\{5;\;-5;\;\frac{2}{3};\;\sqrt{3};\;\sqrt{3}+1\right\}.
O que o problema pede: determinar a imagem de f, ou seja, o conjunto de todos os valores f(x) quando x percorre os elementos de A. Em termos práticos, precisamos calcular f(5),\,f(-5),\,f\!\left(\tfrac{2}{3}\right),\,f(\sqrt{3}) e f(\sqrt{3}+1) e reunir esses resultados num conjunto (removendo repetidos, se houver).

Passo 2

Conceito e método (rapidinho e claro): a imagem de f sobre A é
f(A)=\{\,f(x)\mid x\in A\,\}.
Como A tem poucos elementos, o método mais direto é calcular f em cada elemento de A e anotar os valores. Vou calcular cada um passo a passo, explicando as operações (elevar ao quadrado, multiplicar por 3 e somar 1).

Passo 3

Cálculo de f(5). Primeiro elevamos 5 ao quadrado e depois aplicamos a fórmula:
f(5)=3\cdot 5^{2}+1=3\cdot 25+1=75+1=76.
Comentário: 5^{2}=25, multiplicar por 3 75 e somar 1 resulta em 76.

Passo 4

Cálculo de f(-5). Note que (-5)^{2}=25, porque ao elevar um número negativo ao quadrado o resultado é positivo (o sinal desaparece):
f(-5)=3\cdot (-5)^{2}+1=3\cdot 25+1=75+1=76.
Observação útil para a prova: quando a função depende apenas de x^{2}, valores simétricos a e -a produzem a mesma imagem.

Passo 5

Cálculo de f\!\left(\tfrac{2}{3}\right). Primeiro o quadrado da fração:
\left(\tfrac{2}{3}\right)^{2}=\tfrac{4}{9}.
Multiplicando por 3:
3\cdot \tfrac{4}{9}=\tfrac{12}{9}=\tfrac{4}{3}.
Somando 1:
f\!\left(\tfrac{2}{3}\right)=\tfrac{4}{3}+1=\tfrac{4}{3}+\tfrac{3}{3}=\tfrac{7}{3}.
Dica de cálculo: some frações transformando 1 em \tfrac{3}{3} para juntar denominadores.

Passo 6

Cálculo de f(\sqrt{3}). Elevar \sqrt{3} ao quadrado elimina a raiz:
(\sqrt{3})^{2}=3.
Aplicando a fórmula:
f(\sqrt{3})=3\cdot 3+1=9+1=10.

Passo 7

Cálculo de f(\sqrt{3}+1). Aqui usamos a identidade do quadrado de soma: para a e b,
(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.
Aplicando com a=\sqrt{3} e b=1:
(\sqrt{3}+1)^{2}=(\sqrt{3})^{2}+2\cdot\sqrt{3}\cdot 1+1^{2}=3+2\sqrt{3}+1=4+2\sqrt{3}.
Agora multiplicamos por 3 e somamos 1:
3\cdot(4+2\sqrt{3})+1=12+6\sqrt{3}+1=13+6\sqrt{3}.
Esse valor não se simplifica mais em termos elementares.

Passo 8

Reunindo os resultados calculados:
f(5)=76,\qquad f(-5)=76,\qquad f\!\left(\tfrac{2}{3}\right)=\tfrac{7}{3},\qquad f(\sqrt{3})=10,\qquad f(\sqrt{3}+1)=13+6\sqrt{3}.
Como 76 apareceu duas vezes, na imagem do conjunto ele aparece apenas uma vez (conjunto não lista repetições). Portanto a imagem f(A) é o conjunto formado por esses valores.

Resposta

f(A)=\left\{\tfrac{7}{3};\;10;\;13+6\sqrt{3};\;76\right\}

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