Sendo
, uma função definida por
, determine a imagem de
sabendo que sabendo que
sabendo que sabendo que
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e o conjunto de partida
O que o problema pede: determinar a imagem de
, ou seja, o conjunto de todos os valores
quando
percorre os elementos de
. Em termos práticos, precisamos calcular
e
e reunir esses resultados num conjunto (removendo repetidos, se houver).
Passo 2
Conceito e método (rapidinho e claro): a imagem de
sobre
é
Como
tem poucos elementos, o método mais direto é calcular
em cada elemento de
e anotar os valores. Vou calcular cada um passo a passo, explicando as operações (elevar ao quadrado, multiplicar por
e somar
).
Passo 3
Cálculo de
. Primeiro elevamos
ao quadrado e depois aplicamos a fórmula:
Comentário:
, multiplicar por
dá
e somar
resulta em
.
Passo 4
Cálculo de
. Note que
, porque ao elevar um número negativo ao quadrado o resultado é positivo (o sinal desaparece):
Observação útil para a prova: quando a função depende apenas de
, valores simétricos
e
produzem a mesma imagem.
Passo 5
Cálculo de
. Primeiro o quadrado da fração:
Multiplicando por
:
Somando
:
Dica de cálculo: some frações transformando
em
para juntar denominadores.
Passo 6
Cálculo de
. Elevar
ao quadrado elimina a raiz:
Aplicando a fórmula:
Passo 7
Cálculo de
. Aqui usamos a identidade do quadrado de soma: para
e
,
Aplicando com
e
:
Agora multiplicamos por
e somamos
:
Esse valor não se simplifica mais em termos elementares.
Passo 8
Reunindo os resultados calculados:
Como
apareceu duas vezes, na imagem do conjunto ele aparece apenas uma vez (conjunto não lista repetições). Portanto a imagem
é o conjunto formado por esses valores.