\int(\cos (t)-\operatorname{sec} (t) \operatorname{tg}(t)) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\bigl(\cos(t)-\operatorname{sec}(t)\,\tan(t)\bigr)\,dt.
O conteúdo aqui é integração simples por soma de termos, usando as fórmulas \displaystyle\int\cos(t)\,dt=\sin(t)+C e \displaystyle\int\operatorname{sec}(t)\tan(t)\,dt=\operatorname{sec}(t)+C.

Passo 2

Aplicamos a linearidade da integral e separamos os termos:
\int\cos(t)\,dt \;-\;\int\operatorname{sec}(t)\tan(t)\,dt.

Passo 3

Para o primeiro termo, pela fórmula temos
\int\cos(t)\,dt=\sin(t).

Passo 4

Para o segundo termo, como \dfrac{d}{dt}[\operatorname{sec}(t)]=\operatorname{sec}(t)\tan(t), obtemos
\int\operatorname{sec}(t)\tan(t)\,dt=\operatorname{sec}(t).
Como o sinal era negativo, isso dá -\operatorname{sec}(t).

Resposta

\int\bigl(\cos(t)-\operatorname{sec}(t)\,\tan(t)\bigr)\,dt =\sin(t)\;-\;\operatorname{sec}(t)\;+\;C.

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