\int\left(\frac{\sqrt{x}+1}{x}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\frac{\sqrt{x}+1}{x}\,dx
Este é um problema de integração de funções algébricas; vamos usar a propriedade da soma de integrais e a regra do poder.

Passo 2

Reescrevemos o integrando separando a fração e expressando em potências de x:
\frac{\sqrt{x}+1}{x} = \frac{x^{1/2}}{x} + \frac{1}{x} = x^{-1/2} + x^{-1}.

Passo 3

Agora integramos termo a termo usando a regra do poder e a integral de x^{-1}:
\int x^{-1/2}\,dx = \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} = 2\,x^{1/2},
\int x^{-1}\,dx = \ln\bigl|x\bigr|.

Passo 4

Somando os resultados e incluindo a constante de integração C, obtemos
2\sqrt{x} + \ln\bigl|x\bigr| + C.

Resposta

2\sqrt{x} + \ln\lvert x\rvert + C

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