\int \cos ^{5} x \cdot \sin ^{4} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \cos^{5}x\cdot \sin^{4}x\,dx.
Informações dadas e objetivo:
  • A integranda é o produto de potências de seno e cosseno: \cos^{5}x e \sin^{4}x.
  • Queremos encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função em termos de x.
  • Não há restrições adicionais; devemos devolver a primitiva mais simples possível, com constante de integração.

Passo 2

Estratégia (explicação didática):
  • Quando aparece um produto de potências de seno e cosseno, um truque comum é separar uma cópia de uma das funções de forma que sua derivada apareça multiplicando o restante. Aqui a derivada de \sin x é \cos x, então é interessante separar um fator \cos x para usarmos a substituição u=\sin x.
  • Para lidar com as potências restantes de \cos x, usamos a identidade trigonométrica básica
\cos^{2}x = 1 - \sin^{2}x,
e elevamos conforme necessário.

Passo 3

Separar um fator \cos x e reescrever o resto usando a identidade:
\cos^{5}x \cdot \sin^{4}x = \cos^{4}x \cdot \sin^{4}x \cdot \cos x.
Agora usar \cos^{2}x = 1 - \sin^{2}x para escrever \cos^{4}x como:
\cos^{4}x = (\cos^{2}x)^{2} = (1 - \sin^{2}x)^{2}.
Portanto a integranda fica
\cos^{5}x \cdot \sin^{4}x = (1 - \sin^{2}x)^{2} \cdot \sin^{4}x \cdot \cos x.

Passo 4

Fazer a substituição u=\sin x. Explico o porquê e o que acontece:
  • Definimos u=\sin x. Então a derivada é du=\cos x\,dx.
  • Note que o fator \cos x\,dx está presente na expressão do passo anterior, então a substituição elimina o diferencial em x e transforma tudo em função de u.
Aplicando a substituição, a integral passa a ser
\int (1 - \sin^{2}x)^{2}\sin^{4}x\cdot \cos x\,dx \quad\longrightarrow\quad \int (1 - u^{2})^{2}u^{4}\,du.

Passo 5

Expandir o polinômio para integrar facilmente:
  • Primeiro expandimos (1 - u^{2})^{2}:
(1 - u^{2})^{2} = 1 - 2u^{2} + u^{4}.
  • Multiplicamos por u^{4}:
u^{4}(1 - 2u^{2} + u^{4}) = u^{4} - 2u^{6} + u^{8}.
Assim a integral em u é
\int \bigl(u^{4} - 2u^{6} + u^{8}\bigr)\,du.

Passo 6

Integrar termo a termo (relembre: a integral de u^{n} é u^{n+1}/(n+1) para n\neq -1):
  • Para u^{4}:
\int u^{4}\,du = \frac{u^{5}}{5}.
  • Para -2u^{6}:
\int -2u^{6}\,du = -2\cdot\frac{u^{7}}{7} = -\frac{2u^{7}}{7}.
  • Para u^{8}:
\int u^{8}\,du = \frac{u^{9}}{9}.
Somando as três partes, uma primitiva em u é
\frac{u^{5}}{5} - \frac{2u^{7}}{7} + \frac{u^{9}}{9} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Voltar para a variável x substituindo u=\sin x:
\frac{u^{5}}{5} - \frac{2u^{7}}{7} + \frac{u^{9}}{9} + C \quad\longrightarrow\quad \frac{\sin^{5}x}{5} - \frac{2\sin^{7}x}{7} + \frac{\sin^{9}x}{9} + C.
Esse é o resultado final: uma expressão polinomial em \sin x que, derivada, retorna a integranda original (pode confiar: a substituição e integração termo a termo garantem isso).

Resposta

\frac{\sin^{5}x}{5} - \frac{2\sin^{7}x}{7} + \frac{\sin^{9}x}{9} + C

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