Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas e objetivo:
- A integranda é o produto de potências de seno e cosseno:
e . - Queremos encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função em termos de
. - Não há restrições adicionais; devemos devolver a primitiva mais simples possível, com constante de integração.
Passo 2
Estratégia (explicação didática):
- Quando aparece um produto de potências de seno e cosseno, um truque comum é separar uma cópia de uma das funções de forma que sua derivada apareça multiplicando o restante. Aqui a derivada de
é , então é interessante separar um fator para usarmos a substituição . - Para lidar com as potências restantes de
, usamos a identidade trigonométrica básica
e elevamos conforme necessário.
Passo 3
Separar um fator
e reescrever o resto usando a identidade:
Agora usar
para escrever
como:
Portanto a integranda fica
Passo 4
Fazer a substituição
. Explico o porquê e o que acontece:
- Definimos
. Então a derivada é . - Note que o fator
está presente na expressão do passo anterior, então a substituição elimina o diferencial em e transforma tudo em função de .
Aplicando a substituição, a integral passa a ser
Passo 5
Expandir o polinômio para integrar facilmente:
- Primeiro expandimos
:
- Multiplicamos por
:
Assim a integral em
é
Passo 6
Integrar termo a termo (relembre: a integral de
é
para
):
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Somando as três partes, uma primitiva em
é
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Voltar para a variável
substituindo
:
Esse é o resultado final: uma expressão polinomial em
que, derivada, retorna a integranda original (pode confiar: a substituição e integração termo a termo garantem isso).