\int \frac{4 x}{\sqrt{1+x^{2}}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\displaystyle \int \frac{4x}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx.
Informações dadas e importantes para resolver:
  • O integrando é \displaystyle \frac{4x}{\sqrt{1+x^{2}}}.
  • A variável de integração é x.
  • Queremos uma primitiva (antiderivada) mais uma constante de integração C.

Passo 2

Vamos começar manipulando a integral de forma a facilitar uma substituição simples. Primeiro fatoramos o 4 porque é constante:
\int \frac{4x}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx = 4\int \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx.
Aqui a ideia é reconhecer que a expressão dentro da raiz, 1+x^{2}, tem derivada proporcional a x. Isso sugere a substituição abaixo.

Passo 3

Fazemos a substituição típica quando aparece uma função e sua derivada: definimos
u = 1+x^{2}.
Agora calculamos du em termos de dx. Derivando ambos os lados em relação a x,
du = 2x\,dx.
Isolando x\,dx obtemos
x\,dx = \frac{du}{2}.

Passo 4

Substituímos na integral original já com o fator 4:
4\int \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx = 4\int \frac{1}{\sqrt{u}}\cdot\frac{du}{2}.
Simplificando o fator constante 4\cdot\frac{1}{2}=2,
4\int \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx = 2\int u^{-1/2}\,du.

Passo 5

Agora aplicamos a regra de potência para primitiva: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui temos n=-\tfrac{1}{2}. Logo
\int u^{-1/2}\,du = \frac{u^{(-1/2)+1}}{(-1/2)+1} + C = \frac{u^{1/2}}{1/2} + C = 2u^{1/2} + C.
Multiplicando pelo 2 que estava fora:
2\int u^{-1/2}\,du = 2\cdot (2u^{1/2}) + C = 4u^{1/2} + C.

Passo 6

Voltando à variável x usando u=1+x^{2}, obtemos a primitiva:
4u^{1/2} + C = 4\sqrt{1+x^{2}} + C.
Podemos verificar rapidamente derivando a resposta:
\frac{d}{dx}\bigl(4\sqrt{1+x^{2}}\bigr) = 4\cdot\frac{1}{2\sqrt{1+x^{2}}}\cdot 2x = \frac{4x}{\sqrt{1+x^{2}}},
que é exatamente o integrando, então está correto.

Passo 7

Dica rápida para a prova (jeito rápido): note que \displaystyle \frac{d}{dx}\bigl(\sqrt{1+x^{2}}\bigr)=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}. Assim a integral é imediatamente 4\sqrt{1+x^{2}}+C. Isso vale quando você vê uma função composta cuja derivada do interior aparece multiplicando.

Resposta

4\sqrt{1+x^{2}}+C

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