Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas e importantes para resolver:
Informações dadas e importantes para resolver:
- O integrando é
. - A variável de integração é
. - Queremos uma primitiva (antiderivada) mais uma constante de integração
.
Passo 2
Vamos começar manipulando a integral de forma a facilitar uma substituição simples. Primeiro fatoramos o
porque é constante:
Aqui a ideia é reconhecer que a expressão dentro da raiz,
, tem derivada proporcional a
. Isso sugere a substituição abaixo.
Passo 3
Fazemos a substituição típica quando aparece uma função e sua derivada: definimos
Agora calculamos
em termos de
. Derivando ambos os lados em relação a
,
Isolando
obtemos
Passo 4
Substituímos na integral original já com o fator
:
Simplificando o fator constante
,
Passo 5
Agora aplicamos a regra de potência para primitiva: para
,
Aqui temos
. Logo
Multiplicando pelo
que estava fora:
Passo 6
Voltando à variável
usando
, obtemos a primitiva:
Podemos verificar rapidamente derivando a resposta:
que é exatamente o integrando, então está correto.
Passo 7
Dica rápida para a prova (jeito rápido): note que
. Assim a integral é imediatamente
. Isso vale quando você vê uma função composta cuja derivada do interior aparece multiplicando.