\int \operatorname{sen}^{2} 2 x \cdot \cos ^{4} 2 x d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida da função dada.
Informação fornecida: a integral é \int \operatorname{sen}^{2}2x\cdot \cos^{4}2x\,dx.
Variável de integração: x.
Objetivo: encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, isto é, um F(x) tal que F'(x)=\operatorname{sen}^{2}2x\cdot\cos^{4}2x.

Passo 2

Escolha do método (explicando como pensar na hora da prova): como tanto o seno quanto o cosseno aparecem com potências pares ( \operatorname{sen}^{2} e \cos^{4}), uma estratégia eficiente é usar identidades de redução de potência (identidades de ângulo duplo) para transformar o integrando em soma de cossenos com múltiplos de x. Isso transforma a integral numa soma de integrais simples do tipo \int \cos(kx)\,dx e \int dx, que são fáceis de calcular sem calculadora. (Se houvesse uma potência ímpar de seno ou cosseno, eu poderia tentar substituição u=\sin ou u=\cos.)

Passo 3

Identidades úteis (vou explicar o que cada símbolo significa):
  • Para todo ângulo \theta,
\operatorname{sen}^{2}\theta=\frac{1-\cos 2\theta}{2},
onde \operatorname{sen}^{2}\theta significa (\sin\theta)^2 e \cos 2\theta é o cosseno do dobro do ângulo. Essa identidade vem da fórmula de ângulo duplo para cosseno.
  • Para todo ângulo \theta,
\cos^{2}\theta=\frac{1+\cos 2\theta}{2}.
Essas duas servem para reduzir potências pares de seno e cosseno para cossenos de ângulos múltiplos.

Passo 4

Aplicando essas identidades ao nosso integrando: primeiro escrevo \cos^{4}2x como (\cos^{2}2x)^{2} e uso a identidade de \cos^{2}:
\cos^{2}2x=\frac{1+\cos 4x}{2},
logo
\cos^{4}2x=\left(\frac{1+\cos 4x}{2}\right)^{2}=\frac{1+2\cos 4x+\cos^{2}4x}{4}.
Também uso
\operatorname{sen}^{2}2x=\frac{1-\cos 4x}{2}.
Assim o integrando vira o produto dessas expressões.

Passo 5

Multiplico as expressões obtidas:
\operatorname{sen}^{2}2x\cdot\cos^{4}2x =\frac{1-\cos 4x}{2}\cdot\frac{1+2\cos 4x+\cos^{2}4x}{4} =\frac{1}{8}\bigl(1-\cos 4x\bigr)\bigl(1+2\cos 4x+\cos^{2}4x\bigr).
Faço a multiplicação interna (expansão) com calma:
\bigl(1+2c+c^{2}\bigr)\bigl(1-c\bigr)=1+c-c^{2}-c^{3},
onde escrevi c=\cos 4x para simplificar a conta. Portanto
\operatorname{sen}^{2}2x\cdot\cos^{4}2x=\frac{1}{8}\bigl(1+\cos 4x-\cos^{2}4x-\cos^{3}4x\bigr).

Passo 6

Reduzir ainda mais as potências de cosseno que restaram:
  • Para \cos^{2}4x uso a identidade de potência:
\cos^{2}4x=\frac{1+\cos 8x}{2}.
  • Para \cos^{3}4x uso a identidade derivada da fórmula do cosseno triplo. Sabemos que
\cos 3\theta = 4\cos^{3}\theta - 3\cos\theta.
Isolando \cos^{3}\theta obtemos
\cos^{3}\theta=\frac{3\cos\theta+\cos 3\theta}{4}.
Aplicando com \theta=4x
\cos^{3}4x=\frac{3\cos 4x+\cos 12x}{4}.

Passo 7

Substituo \cos^{2}4x e \cos^{3}4x na expressão do passo anterior:
\begin{aligned} &\frac{1}{8}\Bigl(1+\cos 4x-\cos^{2}4x-\cos^{3}4x\Bigr)\\\ &=\frac{1}{8}\Bigl(1+\cos 4x-\frac{1+\cos 8x}{2}-\frac{3\cos 4x+\cos 12x}{4}\Bigr). \end{aligned}
Agora calculo termo a termo (faça as frações com calma): isso simplifica para
\operatorname{sen}^{2}2x\cdot\cos^{4}2x =\frac{1}{16}+\frac{1}{32}\cos 4x-\frac{1}{16}\cos 8x-\frac{1}{32}\cos 12x.
(Se quiser conferir, faça o mínimo comum denominador 32 e some coeficientes.)

Passo 8

Agora integro termo a termo. Lembro a fórmula básica:
\int \cos(kx)\,dx=\frac{1}{k}\sin(kx)+C,
onde k é constante e C é a constante de integração. Também \int dx = x.
Aplicando isso a cada termo:
\int \frac{1}{16}\,dx=\frac{x}{16},
\int \frac{1}{32}\cos 4x\,dx=\frac{1}{32}\cdot\frac{1}{4}\sin 4x=\frac{1}{128}\sin 4x,
\int -\frac{1}{16}\cos 8x\,dx=-\frac{1}{16}\cdot\frac{1}{8}\sin 8x=-\frac{1}{128}\sin 8x,
\int -\frac{1}{32}\cos 12x\,dx=-\frac{1}{32}\cdot\frac{1}{12}\sin 12x=-\frac{1}{384}\sin 12x.

Passo 9

Somando todas as primitivas e incluindo a constante de integração C, a antiderivada final é
F(x)=\frac{x}{16}+\frac{1}{128}\sin 4x-\frac{1}{128}\sin 8x-\frac{1}{384}\sin 12x + C.

Resposta

\displaystyle \frac{x}{16}+\frac{1}{128}\sin 4x-\frac{1}{128}\sin 8x-\frac{1}{384}\sin 12x + C

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