Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida da função dada.
Informação fornecida: a integral é
Variável de integração:
.
Objetivo: encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, isto é, um tal que
.
Objetivo: encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, isto é, um
Passo 2
Escolha do método (explicando como pensar na hora da prova): como tanto o seno quanto o cosseno aparecem com potências pares (
e
), uma estratégia eficiente é usar identidades de redução de potência (identidades de ângulo duplo) para transformar o integrando em soma de cossenos com múltiplos de
. Isso transforma a integral numa soma de integrais simples do tipo
e
, que são fáceis de calcular sem calculadora. (Se houvesse uma potência ímpar de seno ou cosseno, eu poderia tentar substituição
ou
.)
Passo 3
Identidades úteis (vou explicar o que cada símbolo significa):
- Para todo ângulo
,
onde
significa
e
é o cosseno do dobro do ângulo. Essa identidade vem da fórmula de ângulo duplo para cosseno.
- Para todo ângulo
,
Essas duas servem para reduzir potências pares de seno e cosseno para cossenos de ângulos múltiplos.
Passo 4
Aplicando essas identidades ao nosso integrando: primeiro escrevo
como
e uso a identidade de
:
logo
Também uso
Assim o integrando vira o produto dessas expressões.
Passo 5
Multiplico as expressões obtidas:
Faço a multiplicação interna (expansão) com calma:
onde escrevi
para simplificar a conta. Portanto
Passo 6
Reduzir ainda mais as potências de cosseno que restaram:
- Para
uso a identidade de potência:
- Para
uso a identidade derivada da fórmula do cosseno triplo. Sabemos que
Isolando
obtemos
Aplicando com
dá
Passo 7
Substituo
e
na expressão do passo anterior:
Agora calculo termo a termo (faça as frações com calma): isso simplifica para
(Se quiser conferir, faça o mínimo comum denominador
e some coeficientes.)
Passo 8
Agora integro termo a termo. Lembro a fórmula básica:
onde
é constante e
é a constante de integração. Também
.
Aplicando isso a cada termo:
Passo 9
Somando todas as primitivas e incluindo a constante de integração
, a antiderivada final é