\int \operatorname{sen}^{2} 3 x \cdot \cos ^{2} 3 x d x

Passo 1

O problema pede calcular a integral
\int \operatorname{sen}^{2}3x\cdot \cos^{2}3x\,dx.
Informações dadas:
\text{integrando}=\operatorname{sen}^{2}3x\cdot \cos^{2}3x, \qquad \text{variável de integração}=x.áçã

Passo 2

Uma identidade muito útil é a fórmula do ângulo duplo para seno:
\sin(2u)=2\sin u\cos u.
Dessa fórmula segue que
\sin u\cos u=\frac{1}{2}\sin(2u).
Ao elevar ambos os lados ao quadrado obtemos (vou mostrar passo a passo):
\sin^{2}u\cos^{2}u=\left(\frac{1}{2}\sin(2u)\right)^{2}=\frac{1}{4}\sin^{2}(2u).
Agora aplico isso com u=3x. Logo
\sin^{2}3x\cos^{2}3x=\frac{1}{4}\sin^{2}(6x).

Passo 3

Outra identidade útil é expressar \sin^{2} em termos de cosseno do dobro do ângulo:
\sin^{2}t=\frac{1-\cos(2t)}{2},
que vem de \cos(2t)=1-2\sin^{2}t resolvendo para \sin^{2}t. Aplicando com t=6x,
\sin^{2}(6x)=\frac{1-\cos(12x)}{2}.
Substituindo na expressão do Passo 2:
\sin^{2}3x\cos^{2}3x=\frac{1}{4}\cdot\frac{1-\cos(12x)}{2}=\frac{1-\cos(12x)}{8}.

Passo 4

Agora a integral fica simples:
\int \sin^{2}3x\cos^{2}3x\,dx=\int \frac{1-\cos(12x)}{8}\,dx.
Separando termos:
\int \frac{1-\cos(12x)}{8}\,dx=\frac{1}{8}\int 1\,dx-\frac{1}{8}\int \cos(12x)\,dx.
Integro termo a termo. Sabendo que \int 1\,dx=x+C e \int \cos(kx)\,dx=\frac{1}{k}\sin(kx)+C, temos
\frac{1}{8}x-\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{12}\sin(12x)+C.
Multiplicando os coeficientes:
\frac{x}{8}-\frac{1}{96}\sin(12x)+C.

Passo 5

Verificação rápida (para ficar seguro): derivando o resultado deve voltar ao integrando. Calculo
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x}{8}-\frac{1}{96}\sin(12x)\right)=\frac{1}{8}-\frac{1}{96}\cdot 12\cos(12x)=\frac{1}{8}-\frac{1}{8}\cos(12x)=\frac{1-\cos(12x)}{8},
que é exatamente o integrando reescrito no Passo 3. Então está correto.

Resposta

\displaystyle \frac{x}{8}-\frac{1}{96}\sin(12x)+C

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