Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas: a função a integrar é
. O objetivo é encontrar uma primitiva (uma antiderivada), ou seja, uma função
tal que
. Não há outras condições (constante de integração aparecerá no final).
Passo 2
Estratégia escolhida: como o expoente de cosseno é ímpar, uma técnica eficiente é separar um fator
e expressar o restante em função de
. A razão é que
, então podemos usar a substituição
. Isso transforma a integraçãocom trigonometria numa integral de polinômio, que é mais simples. Vou explicar passo a passo como fazer isso.
Passo 3
Separe um fator
e escreva o resto usando a identidade
. Assim:
Explicando: primeiro usei
e depois a identidade fundamental
.
Passo 4
Faça a substituição
. Então
. Substituindo na integral:
Agora vamos expandir o polinômio para integrar termo a termo:
Logo a integral fica
Passo 5
Integre termo a termo usando a regra de potência
Aplicando:
Calculando cada termo:
Portanto
Passo 6
Volte à variável original
lembrando que
. Substituindo:
Passo 7
Verificação rápida (opcional, mas útil para a prova): derivando a resposta obtida deve voltar
. Calcule
Simplificando:
confirmando que a primitiva está correta.