\int \cos ^{5} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \cos^{5} x \, dx.
Informações dadas: a função a integrar é \cos^{5}x. O objetivo é encontrar uma primitiva (uma antiderivada), ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=\cos^{5}x. Não há outras condições (constante de integração aparecerá no final).

Passo 2

Estratégia escolhida: como o expoente de cosseno é ímpar, uma técnica eficiente é separar um fator \cos x e expressar o restante em função de \sin x. A razão é que \dfrac{d}{dx}\sin x=\cos x, então podemos usar a substituição u=\sin x. Isso transforma a integraçãocom trigonometria numa integral de polinômio, que é mais simples. Vou explicar passo a passo como fazer isso.

Passo 3

Separe um fator \cos x e escreva o resto usando a identidade \cos^{2}x=1-\sin^{2}x. Assim:
\cos^{5}x = \cos^{4}x\cdot\cos x = (\cos^{2}x)^{2}\cos x = (1-\sin^{2}x)^{2}\cos x.
Explicando: primeiro usei \cos^{4}x=(\cos^{2}x)^{2} e depois a identidade fundamental \cos^{2}x=1-\sin^{2}x.

Passo 4

Faça a substituição u=\sin x. Então du=\cos x\,dx. Substituindo na integral:
\int \cos^{5}x\,dx = \int (1-\sin^{2}x)^{2}\cos x\,dx = \int (1-u^{2})^{2}\,du.
Agora vamos expandir o polinômio para integrar termo a termo:
(1-u^{2})^{2} = 1 - 2u^{2} + u^{4}.
Logo a integral fica
\int (1-u^{2})^{2}\,du = \int \bigl(1 - 2u^{2} + u^{4}\bigr)\,du.

Passo 5

Integre termo a termo usando a regra de potência
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C\quad(\text{para }n\neq -1).
Aplicando:
\int \bigl(1 - 2u^{2} + u^{4}\bigr)\,du = \int 1\,du - 2\int u^{2}\,du + \int u^{4}\,du.
Calculando cada termo:
\int 1\,du = u, \qquad \int u^{2}\,du = \frac{u^{3}}{3}, \qquad \int u^{4}\,du = \frac{u^{5}}{5}.
Portanto
\int \bigl(1 - 2u^{2} + u^{4}\bigr)\,du = u - 2\cdot\frac{u^{3}}{3} + \frac{u^{5}}{5} + C.

Passo 6

Volte à variável original x lembrando que u=\sin x. Substituindo:
u - \frac{2u^{3}}{3} + \frac{u^{5}}{5} + C = \sin x - \frac{2}{3}\sin^{3}x + \frac{1}{5}\sin^{5}x + C.

Passo 7

Verificação rápida (opcional, mas útil para a prova): derivando a resposta obtida deve voltar \cos^{5}x. Calcule
\frac{d}{dx}\!\left(\sin x - \frac{2}{3}\sin^{3}x + \frac{1}{5}\sin^{5}x\right) = \cos x - \frac{2}{3}\cdot 3\sin^{2}x\cos x + \frac{1}{5}\cdot 5\sin^{4}x\cos x.
Simplificando:
\cos x - 2\sin^{2}x\cos x + \sin^{4}x\cos x = \cos x\bigl(1-2\sin^{2}x+\sin^{4}x\bigr)=\cos x(1-\sin^{2}x)^{2}=\cos^{5}x,
confirmando que a primitiva está correta.

Resposta

\sin x - \dfrac{2}{3}\sin^{3}x + \dfrac{1}{5}\sin^{5}x + C

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