Passo 1
O problema pede calcular a integral
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - A variável de integração é
. - Quer-se uma primitiva (ou a expressão da integral indefinida), com a constante de integração
.
Passo 2
Plano de solução (sem efetuar contas ainda): quando aparecem potências pares de
e
é muito prático usar identidades de redução de potência (às vezes chamadas de identidades de ângulo duplo) para transformar potências em combinações lineares de cossenos de múltiplos ângulos. As identidades básicas que vamos usar são:
Usando essas identidades conseguimos escrever
e depois multiplicar por
para obter uma soma de termos do tipo constante e
, que são fáceis de integrar (pois
).
Passo 3
Calculando
com redução de potência:
Agora aplicar redução de potência em
:
Substituindo:
Passo 4
Agora escrevemos o integrando como produto das fórmulas:
Vamos multiplicar o numerador passo a passo:
Agrupando termos:
Passo 5
Reduzir
e
para cossenos simples:
- Usando
, temos
- Usando fórmula produto-soma
, para , :
Portanto
Somando tudo:
Assim o integrando fica
Distribuindo
:
Passo 6
Agora integramos termo a termo (lembrando que
):
Simplificando os coeficientes: