\int \operatorname{sen}^{2} x \cos ^{4} x d x

Passo 1

O problema pede calcular a integral
\int \operatorname{sen}^{2}x\cos^{4}x\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é f(x)=\operatorname{sen}^{2}x\cos^{4}x.
  • A variável de integração é x.
  • Quer-se uma primitiva (ou a expressão da integral indefinida), com a constante de integração C.

Passo 2

Plano de solução (sem efetuar contas ainda): quando aparecem potências pares de \sin e \cos é muito prático usar identidades de redução de potência (às vezes chamadas de identidades de ângulo duplo) para transformar potências em combinações lineares de cossenos de múltiplos ângulos. As identidades básicas que vamos usar são:
\sin^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}, \qquad \cos^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}.
Usando essas identidades conseguimos escrever \cos^{4}x e depois multiplicar por \sin^{2}x para obter uma soma de termos do tipo constante e \cos(kx), que são fáceis de integrar (pois \int \cos(kx)\,dx = \frac{1}{k}\sin(kx)).

Passo 3

Calculando \cos^{4}x com redução de potência:
\cos^{4}x=(\cos^{2}x)^{2}=\left(\frac{1+\cos 2x}{2}\right)^{2} =\frac{1+2\cos 2x+\cos^{2}2x}{4}.
Agora aplicar redução de potência em \cos^{2}2x:
\cos^{2}2x=\frac{1+\cos 4x}{2}.
Substituindo:
\cos^{4}x=\frac{1+2\cos 2x+\tfrac{1+\cos 4x}{2}}{4} =\frac{3+4\cos 2x+\cos 4x}{8}.

Passo 4

Agora escrevemos o integrando como produto das fórmulas:
\sin^{2}x\cos^{4}x=\left(\frac{1-\cos 2x}{2}\right)\left(\frac{3+4\cos 2x+\cos 4x}{8}\right) =\frac{1}{16}\,(1-\cos 2x)(3+4\cos 2x+\cos 4x).
Vamos multiplicar o numerador passo a passo:
(1-\cos 2x)(3+4\cos 2x+\cos 4x)=3+4\cos 2x+\cos 4x-3\cos 2x-4\cos^{2}2x-\cos 2x\cos 4x.
Agrupando termos:
=3+\cos 2x+\cos 4x-4\cos^{2}2x-\cos 2x\cos 4x.

Passo 5

Reduzir \cos^{2}2x e \cos 2x\cos 4x para cossenos simples:
  • Usando \cos^{2}2x=\dfrac{1+\cos 4x}{2}, temos
-4\cos^{2}2x=-4\cdot\frac{1+\cos 4x}{2}=-2-2\cos 4x.
  • Usando fórmula produto-soma \cos A\cos B=\dfrac{\cos(A+B)+\cos(A-B)}{2}, para A=2x, B=4x:
\cos 2x\cos 4x=\frac{\cos 6x+\cos(-2x)}{2}=\frac{\cos 6x+\cos 2x}{2}.
Portanto
-\cos 2x\cos 4x=-\frac{1}{2}\cos 6x-\frac{1}{2}\cos 2x.
Somando tudo:
3+\cos 2x+\cos 4x-2-2\cos 4x-\frac{1}{2}\cos 6x-\frac{1}{2}\cos 2x
=1+\frac{1}{2}\cos 2x-\cos 4x-\frac{1}{2}\cos 6x.
Assim o integrando fica
\sin^{2}x\cos^{4}x=\frac{1}{16}\left(1+\frac{1}{2}\cos 2x-\cos 4x-\frac{1}{2}\cos 6x\right).
Distribuindo \tfrac{1}{16}:
\sin^{2}x\cos^{4}x=\frac{1}{16}+\frac{1}{32}\cos 2x-\frac{1}{16}\cos 4x-\frac{1}{32}\cos 6x.

Passo 6

Agora integramos termo a termo (lembrando que \int \cos(kx)\,dx=\dfrac{1}{k}\sin(kx)):
\int \sin^{2}x\cos^{4}x\,dx =\int\left(\frac{1}{16}+\frac{1}{32}\cos 2x-\frac{1}{16}\cos 4x-\frac{1}{32}\cos 6x\right)dx
=\frac{x}{16}+\frac{1}{32}\cdot\frac{1}{2}\sin 2x-\frac{1}{16}\cdot\frac{1}{4}\sin 4x-\frac{1}{32}\cdot\frac{1}{6}\sin 6x + C.
Simplificando os coeficientes:
=\frac{x}{16}+\frac{1}{64}\sin 2x-\frac{1}{64}\sin 4x-\frac{1}{192}\sin 6x + C.

Resposta

\displaystyle \frac{x}{16}+\frac{1}{64}\sin 2x-\frac{1}{64}\sin 4x-\frac{1}{192}\sin 6x + C

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