6 . \int \operatorname{cotg}^{5} x d x \quad \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\left(\right. resp. \left.\quad-\frac{1}{4} \operatorname{cosec}^{4} x+\operatorname{cosec}^{2} x+\log |\operatorname{sen} x|+C\right)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos de dado: calcular a integral
\int \operatorname{cotg}^{5}x\,dx,
ou seja \int \cot^{5}x\,dx. Informações úteis que vamos usar (pega direto da trigonometria básica):
  • Identidade pitagórica para cotangente e cosecante:
1+\cot^{2}x=\csc^{2}x.
  • Substituições típicas: se aparece \csc^{2}x\,dx é natural tentar u=\cot x porque du=-\csc^{2}x\,dx; se aparece \csc x\cot x\,dx é natural tentar u=\csc x porque du=-\csc x\cot x\,dx.
Agora vamos resolver passo a passo, explicando cada escolha.

Passo 2

Primeira manipulação algébrica para simplificar a integral. Escrevo \cot^{5}x como \cot^{3}x\cdot\cot^{2}x e uso a identidade \cot^{2}x=\csc^{2}x-1. Assim:
\cot^{5}x=\cot^{3}x\,( \csc^{2}x-1)=\cot^{3}x\,\csc^{2}x-\cot^{3}x.
Logo a integral se separa:
\int \cot^{5}x\,dx=\int \cot^{3}x\,\csc^{2}x\,dx-\int \cot^{3}x\,dx.
Essa separação é útil porque a primeira parcela tem \csc^{2}x\,dx, que combina bem com a substituição u=\cot x.

Passo 3

Calculo da primeira parcela I_1=\int \cot^{3}x\,\csc^{2}x\,dx.
Faço a substituição
u=\cot x\quad\Rightarrow\quad du=-\csc^{2}x\,dx,
portanto \csc^{2}x\,dx=-du. Substituindo:
I_1=\int u^{3}(-du)=-\int u^{3}\,du=-\frac{u^{4}}{4}+C=-\frac{\cot^{4}x}{4}+C.
Guardo esse resultado (o C final será único no resultado total).

Passo 4

Calculo da segunda parcela I_2=\int \cot^{3}x\,dx.
Uma forma prática é usar a mesma substituição u=\cot x. Como antes du=-\csc^{2}x\,dx e lembrando que \csc^{2}x=1+\cot^{2}x=1+u^{2}, temos dx=-\dfrac{du}{1+u^{2}}. Então
I_2=\int u^{3}\,dx=\int u^{3}\left(-\frac{du}{1+u^{2}}\right)=-\int \frac{u^{3}}{1+u^{2}}\,du.
Agora faço a divisão algébrica no integrando para simplificar:
\frac{u^{3}}{1+u^{2}}=u-\frac{u}{1+u^{2}}.
Portanto
I_2=-\int\left(u-\frac{u}{1+u^{2}}\right)\,du=-\int u\,du+\int\frac{u}{1+u^{2}}\,du.
Integro cada termo:
-\int u\,du=-\frac{u^{2}}{2}, \qquad \int\frac{u}{1+u^{2}}\,du=\frac{1}{2}\ln(1+u^{2}).
Somando:
I_2=-\frac{u^{2}}{2}+\frac{1}{2}\ln(1+u^{2})+C.
Voltando à variável x com u=\cot x e usando 1+u^{2}=\csc^{2}x, obtemos
I_2=-\frac{\cot^{2}x}{2}+\frac{1}{2}\ln(\csc^{2}x)+C.
Como \ln(\csc^{2}x)=2\ln|\csc x|, isto simplifica para
I_2=-\frac{\cot^{2}x}{2}+\ln|\csc x|+C.

Passo 5

Agora combino I_1-I_2 (lembre: \int \cot^{5}x\,dx=I_1-I_2):
\int \cot^{5}x\,dx=\left(-\frac{\cot^{4}x}{4}\right)-\left(-\frac{\cot^{2}x}{2}+\ln|\csc x|\right)+C.
Simplificando os sinais:
\int \cot^{5}x\,dx=-\frac{\cot^{4}x}{4}+\frac{\cot^{2}x}{2}-\ln|\csc x|+C.

Passo 6

Expressão final em termos de \csc x e \sin x (para coincidir com a resposta pedida). Uso \cot^{2}x=\csc^{2}x-1 e \cot^{4}x=(\csc^{2}x-1)^{2}=\csc^{4}x-2\csc^{2}x+1. Substituindo na expressão anterior:
-\frac{\cot^{4}x}{4}+\frac{\cot^{2}x}{2}-\ln|\csc x| = -\frac{1}{4}(\csc^{4}x-2\csc^{2}x+1)+\frac{1}{2}(\csc^{2}x-1)-\ln|\csc x|+C.
Multiplicando e somando termos semelhantes (os termos constantes entram em C):
-\frac{1}{4}\csc^{4}x+\csc^{2}x-\ln|\csc x|+C.
Finalmente uso -\ln|\csc x|=\ln|\sin x| para escrever o log em função de \sin:
\int \cot^{5}x\,dx=-\frac{1}{4}\csc^{4}x+\csc^{2}x+\ln|\sin x|+C.

Resposta

-\frac{1}{4}\csc^{4}x+\csc^{2}x+\ln|\sin x|+C

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