resp.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos de dado: calcular a integral
ou seja
. Informações úteis que vamos usar (pega direto da trigonometria básica):
- Identidade pitagórica para cotangente e cosecante:
- Substituições típicas: se aparece
é natural tentar porque ; se aparece é natural tentar porque .
Agora vamos resolver passo a passo, explicando cada escolha.
Passo 2
Primeira manipulação algébrica para simplificar a integral. Escrevo
como
e uso a identidade
. Assim:
Logo a integral se separa:
Essa separação é útil porque a primeira parcela tem
, que combina bem com a substituição
.
Passo 3
Calculo da primeira parcela
.
Faço a substituição
portanto
. Substituindo:
Guardo esse resultado (o
final será único no resultado total).
Passo 4
Calculo da segunda parcela
.
Uma forma prática é usar a mesma substituição
. Como antes
e lembrando que
, temos
. Então
Agora faço a divisão algébrica no integrando para simplificar:
Portanto
Integro cada termo:
Somando:
Voltando à variável
com
e usando
, obtemos
Como
, isto simplifica para
Passo 5
Agora combino
(lembre:
):
Simplificando os sinais:
Passo 6
Expressão final em termos de
e
(para coincidir com a resposta pedida). Uso
e
. Substituindo na expressão anterior:
Multiplicando e somando termos semelhantes (os termos constantes entram em
):
Finalmente uso
para escrever o log em função de
: