3 . \int \cos ^{4} x \operatorname{sen}^{3} x d x \quad \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\left(\right. resp \left.. \quad-\frac{1}{5} \cos ^{5} x+\frac{1}{7} \cos ^{7} x+C\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular a primitiva (integral indefinida)
\int \cos^{4}x\,\operatorname{sen}^{3}x\,dx.
Informações dadas:
  • A variável de integração é x.
  • A função a integrar é \cos^{4}x\cdot\operatorname{sen}^{3}x.
    O objetivo é encontrar uma expressão F(x) tal que F'(x)=\cos^{4}x\,\operatorname{sen}^{3}x, mais a constante de integração C.

Passo 2

Estratégia (explicada de forma simples e informal):
  • Quando uma integral tem potência ímpar de \operatorname{sen} x (aqui \operatorname{sen}^{3}x), é muito conveniente separar um fator \operatorname{sen} x e usar a identidade \operatorname{sen}^{2}x=1-\cos^{2}x para expressar tudo em termos de \cos x.
  • Em seguida fazemos a substituição u=\cos x, porque du=-\operatorname{sen} x\,dx e assim o fator \operatorname{sen} x\,dx que isolamos se transforma em -du. Isso transforma a integral trigonométrica numa integral polinomial em u, que é fácil de calcular.

Passo 3

Separar um fator de \operatorname{sen} x da potência ímpar:
\int \cos^{4}x\,\operatorname{sen}^{3}x\,dx = \int \cos^{4}x\,\operatorname{sen}^{2}x\cdot\operatorname{sen} x\,dx.

Passo 4

Usar a identidade trigonométrica \operatorname{sen}^{2}x=1-\cos^{2}x (explicação rápida: vem da identidade pitagórica \operatorname{sen}^{2}x+\cos^{2}x=1):
\int \cos^{4}x\,\operatorname{sen}^{2}x\cdot\operatorname{sen} x\,dx = \int \cos^{4}x\,(1-\cos^{2}x)\,\operatorname{sen} x\,dx.

Passo 5

Fazer a substituição u=\cos x. Então du=-\operatorname{sen} x\,dx, ou seja \operatorname{sen} x\,dx=-du. Substituindo na integral:
\int \cos^{4}x\,(1-\cos^{2}x)\,\operatorname{sen} x\,dx = \int u^{4}(1-u^{2})(-du).

Passo 6

Simplificar a integral em u e integrar (aqui transformou-se em integral polinomial; integrar potências é direto: \int u^{n}du=\dfrac{u^{n+1}}{n+1}+C):
\int u^{4}(1-u^{2})(-du)=-\int (u^{4}-u^{6})\,du.
Integrando termo a termo:
-\int u^{4}\,du + \int u^{6}\,du = -\frac{u^{5}}{5}+\frac{u^{7}}{7}+C.

Passo 7

Voltar à variável original usando u=\cos x. Assim a primitiva em termos de x é obtida substituindo u por \cos x.

Resposta

\displaystyle -\frac{1}{5}\cos^{5}x+\frac{1}{7}\cos^{7}x+C

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