-
resp.
Passo 1
O enunciado pede a integral indefinida
Informações dadas:
- A integranda é o produto de duas funções trigonométricas
e . - Deve encontrar a primitiva (integral indefinida), que será uma função mais constante de integração
.
Passo 2
Estratégia básica (identidade trigonométrica útil): transformar o produto de cossenos em soma de cossenos usando a identidade produto-para-soma. Vou deduzir essa identidade para você passo a passo.
Lembrando as fórmulas de soma e diferença:
Somando as duas igualdades obtemos
Portanto a identidade produto-para-soma é
Passo 3
Aplicando a identidade ao nosso integrando com
e
:
Passo 4
Calcule as somas e diferenças dos argumentos:
Como
, concluímos
Passo 5
Agora escrevemos a integral usando essa forma soma:
Podemos integrar termo a termo e tirar a constante
para fora:
Passo 6
Regra de integração básica que vamos usar: para
,
porque
.
Aplicando isso aos dois termos:
Passo 7
Somando as duas primitivas e acrescentando a constante de integração
, obtemos a primitiva geral. Verificação rápida (útil em prova): derivando
volta-se ao integrando original, pois
e
pela identidade usada anteriormente.