1. \int \cos 4 x \cos 7 x d x \quad \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\left(\right. resp. \left.\frac{1}{6} \sin (3 x)+\frac{1}{22} \sin (11 x)+C\right)

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \cos 4x \cos 7x \, dx.
Informações dadas:
  • A integranda é o produto de duas funções trigonométricas \cos 4x e \cos 7x.
  • Deve encontrar a primitiva (integral indefinida), que será uma função mais constante de integração +C.

Passo 2

Estratégia básica (identidade trigonométrica útil): transformar o produto de cossenos em soma de cossenos usando a identidade produto-para-soma. Vou deduzir essa identidade para você passo a passo.
Lembrando as fórmulas de soma e diferença:
\cos(u+v)=\cos u\cos v-\sin u\sin v,
\cos(u-v)=\cos u\cos v+\sin u\sin v.
Somando as duas igualdades obtemos
\cos(u+v)+\cos(u-v)=2\cos u\cos v.
Portanto a identidade produto-para-soma é
\cos u\cos v=\tfrac{1}{2}\big(\cos(u+v)+\cos(u-v)\big).

Passo 3

Aplicando a identidade ao nosso integrando com u=4x e v=7x:
\cos 4x\cos 7x=\tfrac{1}{2}\big(\cos(4x+7x)+\cos(4x-7x)\big).

Passo 4

Calcule as somas e diferenças dos argumentos:
4x+7x=11x,\qquad 4x-7x=-3x.
Como \cos(-3x)=\cos(3x), concluímos
\cos 4x\cos 7x=\tfrac{1}{2}\big(\cos 11x+\cos 3x\big).

Passo 5

Agora escrevemos a integral usando essa forma soma:
\int \cos 4x\cos 7x\,dx=\int \tfrac{1}{2}\big(\cos 11x+\cos 3x\big)\,dx.
Podemos integrar termo a termo e tirar a constante \tfrac{1}{2} para fora:
=\tfrac{1}{2}\int \cos 11x\,dx+\tfrac{1}{2}\int \cos 3x\,dx.

Passo 6

Regra de integração básica que vamos usar: para k\neq0,
\int \cos(kx)\,dx=\tfrac{1}{k}\sin(kx)+C,
porque \dfrac{d}{dx}\sin(kx)=k\cos(kx).
Aplicando isso aos dois termos:
\tfrac{1}{2}\int \cos 11x\,dx=\tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{1}{11}\sin 11x=\tfrac{1}{22}\sin 11x,
\tfrac{1}{2}\int \cos 3x\,dx=\tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{1}{3}\sin 3x=\tfrac{1}{6}\sin 3x.

Passo 7

Somando as duas primitivas e acrescentando a constante de integração C, obtemos a primitiva geral. Verificação rápida (útil em prova): derivando \tfrac{1}{6}\sin 3x+\tfrac{1}{22}\sin 11x volta-se ao integrando original, pois
\frac{d}{dx}\!\left(\tfrac{1}{6}\sin 3x\right)=\tfrac{1}{6}\cdot 3\cos 3x=\tfrac{1}{2}\cos 3x,
\frac{d}{dx}\!\left(\tfrac{1}{22}\sin 11x\right)=\tfrac{1}{22}\cdot 11\cos 11x=\tfrac{1}{2}\cos 11x,
e \tfrac{1}{2}(\cos 3x+\cos 11x)=\cos 4x\cos 7x pela identidade usada anteriormente.

Resposta

\tfrac{1}{6}\sin 3x+\tfrac{1}{22}\sin 11x+C

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