1 . \int \operatorname{sen}^{3} x d x \quad \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\left(\right. resp \left.. \quad-\cos x+\frac{1}{3} \cos ^{3} x+C\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \operatorname{sen}^{3} x\,dx.
Informações/objetivo: encontrar uma primitiva (antiderivada) de \operatorname{sen}^{3}x, isto é uma função F(x) tal que F'(x)=\operatorname{sen}^{3}x. O resultado deve ser expresso com a constante arbitrária de integração C.

Passo 2

Observação útil (identidade algébrica): quando aparece uma potência ímpar de \operatorname{sen}x, é muito conveniente separar um fator \operatorname{sen}x e usar \operatorname{sen}^{2}x = 1-\cos^{2}x. Assim
\operatorname{sen}^{3}x = \operatorname{sen}x\cdot\operatorname{sen}^{2}x = \operatorname{sen}x\,(1-\cos^{2}x).
Explicação didática: esta escrita é útil porque a derivada de \cos x é -\operatorname{sen}x, então ao isolar \operatorname{sen}x\,dx podemos fazer uma substituição direta.

Passo 3

Fazemos a substituição (mudança de variável) natural:
u=\cos x.
Derivando ambos os lados em relação a x obtenho
du = -\operatorname{sen}x\,dx,
ou seja
\operatorname{sen}x\,dx = -du.
Explicação da substituição: escolhemos u=\cos x para que o fator \operatorname{sen}x\,dx seja exatamente proporcional a du, transformando a integral trigonométrica numa integral algébrica em u.

Passo 4

Substituindo na integral:
\int \operatorname{sen}^{3}x\,dx = \int \operatorname{sen}x\,(1-\cos^{2}x)\,dx.
Agora uso u=\cos x e \operatorname{sen}x\,dx=-du, portanto
\int \operatorname{sen}x\,(1-\cos^{2}x)\,dx = \int (1-u^{2})(-du).
Tiro o sinal negativo:
\int (1-u^{2})(-du) = \int (u^{2}-1)\,du.

Passo 5

Integro o polinômio em u termo a termo. Lembrando a regra básica \int u^{n}\,du = \dfrac{u^{n+1}}{n+1}+C para n\neq-1,
\int (u^{2}-1)\,du = \int u^{2}\,du - \int 1\,du = \frac{u^{3}}{3} - u + C.
Explicando: calculei cada integral separadamente e somei os resultados, adicionando a constante C.

Passo 6

Volto para a variável original x usando u=\cos x:
\frac{u^{3}}{3} - u + C = \frac{\cos^{3}x}{3} - \cos x + C.
Reescrevendo na ordem mais apresentada (como no enunciado):
-\cos x + \frac{1}{3}\cos^{3}x + C.

Passo 7

Verificação rápida por diferenciação (para ganhar confiança): derivo F(x)=\dfrac{\cos^{3}x}{3}-\cos x.
F'(x)=\frac{1}{3}\cdot 3\cos^{2}x\cdot(-\operatorname{sen}x) -(-\operatorname{sen}x) = -\cos^{2}x\,\operatorname{sen}x + \operatorname{sen}x = \operatorname{sen}x\,(1-\cos^{2}x)=\operatorname{sen}^{3}x.
Portanto a primitiva está correta.

Passo 8

Dica prática para a prova (resumindo a técnica): quando tiver \operatorname{sen}^{n}x com n ímpar, separe um \operatorname{sen}x e use \operatorname{sen}^{2}x=1-\cos^{2}x; então substitua u=\cos x. De forma análoga, se tiver \cos^{n}x com n ímpar, separe um \cos x e use u=\sin x.

Resposta

-\cos x + \dfrac{1}{3}\cos^{3}x + C

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