resp
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações/objetivo: encontrar uma primitiva (antiderivada) de
, isto é uma função
tal que
. O resultado deve ser expresso com a constante arbitrária de integração
.
Passo 2
Observação útil (identidade algébrica): quando aparece uma potência ímpar de
, é muito conveniente separar um fator
e usar
. Assim
Explicação didática: esta escrita é útil porque a derivada de
é
, então ao isolar
podemos fazer uma substituição direta.
Passo 3
Fazemos a substituição (mudança de variável) natural:
Derivando ambos os lados em relação a
obtenho
ou seja
Explicação da substituição: escolhemos
para que o fator
seja exatamente proporcional a
, transformando a integral trigonométrica numa integral algébrica em
.
Passo 4
Substituindo na integral:
Agora uso
e
, portanto
Tiro o sinal negativo:
Passo 5
Integro o polinômio em
termo a termo. Lembrando a regra básica
para
,
Explicando: calculei cada integral separadamente e somei os resultados, adicionando a constante
.
Passo 6
Volto para a variável original
usando
:
Reescrevendo na ordem mais apresentada (como no enunciado):
Passo 7
Verificação rápida por diferenciação (para ganhar confiança): derivo
.
Portanto a primitiva está correta.
Passo 8
Dica prática para a prova (resumindo a técnica): quando tiver
com
ímpar, separe um
e use
; então substitua
. De forma análoga, se tiver
com
ímpar, separe um
e use
.