Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
Informações que temos: o integrando é uma função racional envolvendo
ao quadrado. O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada)
tal que
, mais constante de integração
.
Passo 2
Escolha do método (por que usar substituição trigonométrica): quando aparece
é natural tentar a substituição
porque então
, expressão que simplifica potências de
. Vou usar essa substituição e vou explicar cada passo dela.
Passo 3
Fazendo a substituição
. As relações associadas são:
Substituindo na integral:
Explicação:
.
Passo 4
Calcular
. Uso a identidade trigonométrica de redução de potência:
Assim
Integrando:
Posso reescrever
, então
Passo 5
Voltar para a variável
. Pela substituição
temos
. Para
e
podemos usar um triângulo retângulo padrão: se
então num triângulo com catetos
(oposto) e
(adjacente) a hipotenusa é
. Assim
Portanto
Substituindo
e
na primitiva obtida:
Passo 6
Verificação rápida (confirmação): diferencio a expressão encontrada para checar se volta ao integrando. Seja
Calculando
:
Calculo a derivada do quociente:
Logo
o que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.