1. \int d x /\left(x^{2}+1\right)^{2}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int \frac{dx}{(x^{2}+1)^{2}}.
Informações que temos: o integrando é uma função racional envolvendo x^{2}+1 ao quadrado. O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) F(x) tal que F'(x)=\dfrac{1}{(x^{2}+1)^{2}}, mais constante de integração C.

Passo 2

Escolha do método (por que usar substituição trigonométrica): quando aparece x^{2}+1 é natural tentar a substituição
x=\tan\theta,
porque então 1+x^{2}=\operatorname{sec}^{2}\theta, expressão que simplifica potências de x^{2}+1. Vou usar essa substituição e vou explicar cada passo dela.

Passo 3

Fazendo a substituição x=\tan\theta. As relações associadas são:
dx=\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta,\qquad 1+x^{2}=1+\tan^{2}\theta=\operatorname{sec}^{2}\theta.
Substituindo na integral:
\int \frac{dx}{(x^{2}+1)^{2}} = \int \frac{\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta}{(\operatorname{sec}^{2}\theta)^{2}} = \int \frac{\operatorname{sec}^{2}\theta}{\operatorname{sec}^{4}\theta}\,d\theta = \int \cos^{2}\theta\,d\theta.
Explicação: \operatorname{sec}^{2}\theta/\operatorname{sec}^{4}\theta=\operatorname{sec}^{-2}\theta=\cos^{2}\theta.

Passo 4

Calcular \displaystyle \int \cos^{2}\theta\,d\theta. Uso a identidade trigonométrica de redução de potência:
\cos^{2}\theta=\frac{1+\cos 2\theta}{2}.
Assim
\int \cos^{2}\theta\,d\theta = \int \frac{1+\cos 2\theta}{2}\,d\theta = \frac{1}{2}\int 1\,d\theta+\frac{1}{2}\int \cos 2\theta\,d\theta.
Integrando:
\frac{1}{2}\theta+\frac{1}{2}\cdot\frac{\sin 2\theta}{2}+C = \frac{\theta}{2}+\frac{\sin 2\theta}{4}+C.
Posso reescrever \sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta, então
\int \cos^{2}\theta\,d\theta = \frac{\theta}{2}+\frac{1}{2}\sin\theta\cos\theta + C = \frac{1}{2}\bigl(\theta+\sin\theta\cos\theta\bigr)+C.

Passo 5

Voltar para a variável x. Pela substituição x=\tan\theta temos \theta=\arctan x. Para \sin\theta e \cos\theta podemos usar um triângulo retângulo padrão: se \theta=\arctan x então num triângulo com catetos x (oposto) e 1 (adjacente) a hipotenusa é \sqrt{1+x^{2}}. Assim
\sin\theta=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}},\qquad \cos\theta=\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}.
Portanto
\sin\theta\cos\theta=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\cdot\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}=\frac{x}{1+x^{2}}.
Substituindo \theta e \sin\theta\cos\theta na primitiva obtida:
\frac{1}{2}\bigl(\theta+\sin\theta\cos\theta\bigr)+C = \frac{1}{2}\left(\arctan x+\frac{x}{1+x^{2}}\right)+C.

Passo 6

Verificação rápida (confirmação): diferencio a expressão encontrada para checar se volta ao integrando. Seja
F(x)=\frac{1}{2}\left(\arctan x+\frac{x}{1+x^{2}}\right).
Calculando F'(x):
F'(x)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x}{1+x^{2}}\right)\right).
Calculo a derivada do quociente:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x}{1+x^{2}}\right) =\frac{(1+x^{2})\cdot 1 - x\cdot 2x}{(1+x^{2})^{2}} =\frac{1-x^{2}}{(1+x^{2})^{2}}.
Logo
F'(x)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1-x^{2}}{(1+x^{2})^{2}}\right) =\frac{1}{2}\cdot\frac{(1+x^{2})+(1-x^{2})}{(1+x^{2})^{2}} =\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{(1+x^{2})^{2}} =\frac{1}{(1+x^{2})^{2}},
o que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

\boxed{\frac{1}{2}\left(\arctan x+\frac{x}{1+x^{2}}\right)+C}

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