1. \int\left(x^{2}\right) /\left(x^{3}-1\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{2}}{x^{3}-1}\,dx.
Informações dadas: o integrando é a função \dfrac{x^{2}}{x^{3}-1}. O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma expressão F(x)+C tal que F'(x)=\dfrac{x^{2}}{x^{3}-1}. Vamos resolver passo a passo.

Passo 2

Observação útil (ideia que guia a resolução): a expressão no denominador é x^{3}-1 e sua derivada é 3x^{2}. No numerador temos x^{2}, que é proporcional à derivada do denominador. Quando o numerador é uma constante vezes a derivada do denominador, é natural usar a substituição (também chamada de mudança de variável) u= denominador. A técnica de substituição é baseada na regra da cadeia inversa: se u=g(x) e du=g'(x)\,dx, então integrais do tipo \int \dfrac{g'(x)}{g(x)}\,dx viram \int \dfrac{1}{u}\,du.

Passo 3

Fazer a substituição: defina
u = x^{3}-1.
Calcule du: como u=x^{3}-1, tem-se
du = 3x^{2}\,dx.
Isolando x^{2}\,dx obtemos
x^{2}\,dx = \frac{1}{3}\,du.

Passo 4

Substitua na integral original: trocando x^{2}\,dx por \dfrac{1}{3}\,du e x^{3}-1 por u, a integral fica
\int \frac{x^{2}}{x^{3}-1}\,dx = \int \frac{1}{u}\cdot\frac{1}{3}\,du = \frac{1}{3}\int \frac{1}{u}\,du.
Aqui foi usada a linearidade da integral: constante \dfrac{1}{3} pode sair da integral.

Passo 5

Integrar \dfrac{1}{u}: sabe-se que \displaystyle \int \frac{1}{u}\,du = \ln\left|u\right| + C. Portanto
\frac{1}{3}\int \frac{1}{u}\,du = \frac{1}{3}\ln\left|u\right| + C.

Passo 6

Voltar à variável original x: lembrando que u=x^{3}-1, a primitiva em termos de x é
\frac{1}{3}\ln\!\left|x^{3}-1\right| + C.
Não esquecer da constante de integração C.

Passo 7

Verificação rápida (sempre bom conferir na prova): derivando a resposta obtida deve-se recuperar o integrando. Calcule
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3}\ln\!\left|x^{3}-1\right|\right) = \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{x^{3}-1}\cdot 3x^{2} = \frac{x^{2}}{x^{3}-1},
que é exatamente o integrando. Logo a primitiva está correta.

Passo 8

Comentário didático e exemplo parecido: a técnica usada foi a substituição u=g(x) quando aparece \dfrac{g'(x)}{g(x)}. Isso resolve muitas integrais rapidamente. Exemplo análogo: \displaystyle \int \frac{x^{2}}{x^{3}+7}\,dx = \frac{1}{3}\ln\!\left|x^{3}+7\right| + C, porque aqui u=x^{3}+7 e du=3x^{2}\,dx.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}\ln\!\left|x^{3}-1\right|+C

Exercícios relacionados