O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{2}}{x^{3}-1}\,dx.
Informações dadas: o integrando é a função \dfrac{x^{2}}{x^{3}-1}. O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma expressão F(x)+C tal que F'(x)=\dfrac{x^{2}}{x^{3}-1}. Vamos resolver passo a passo.
Passo 2
Observação útil (ideia que guia a resolução): a expressão no denominador é x^{3}-1 e sua derivada é 3x^{2}. No numerador temos x^{2}, que é proporcional à derivada do denominador. Quando o numerador é uma constante vezes a derivada do denominador, é natural usar a substituição (também chamada de mudança de variável) u= denominador. A técnica de substituição é baseada na regra da cadeia inversa: se u=g(x) e du=g'(x)\,dx, então integrais do tipo \int \dfrac{g'(x)}{g(x)}\,dx viram \int \dfrac{1}{u}\,du.
Passo 3
Fazer a substituição: defina
u = x^{3}-1.
Calcule du: como u=x^{3}-1, tem-se
du = 3x^{2}\,dx.
Isolando x^{2}\,dx obtemos
x^{2}\,dx = \frac{1}{3}\,du.
Passo 4
Substitua na integral original: trocando x^{2}\,dx por \dfrac{1}{3}\,du e x^{3}-1 por u, a integral fica
que é exatamente o integrando. Logo a primitiva está correta.
Passo 8
Comentário didático e exemplo parecido: a técnica usada foi a substituição u=g(x) quando aparece \dfrac{g'(x)}{g(x)}. Isso resolve muitas integrais rapidamente. Exemplo análogo: \displaystyle \int \frac{x^{2}}{x^{3}+7}\,dx = \frac{1}{3}\ln\!\left|x^{3}+7\right| + C, porque aqui u=x^{3}+7 e du=3x^{2}\,dx.