1. \int x^{2} \cdot \sin \left(x^{3}\right) d x

Passo 1

O enunciado dá a integral indefinida
\int x^{2}\cdot \sin\!\left(x^{3}\right)\,dx
e pede para calcular seu antiderivado (ou seja, encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=x^{2}\sin(x^{3})). Não há outros dados; é uma integral indefinida simples.

Passo 2

Vamos observar a estrutura do integrando e identificar uma substituição conveniente. Repare que dentro do seno aparece a expressão x^{3} e que fora do seno temos um fator em x^{2}. Isso sugere a substituição
u = x^{3}.
Explicando didaticamente: a técnica de substituição (ou mudança de variável) funciona porque se u=g(x) e du=g'(x)\,dx, então integrar em x pode virar integrar em u. Aqui a razão é a regra da cadeia ao contrário: se tivéssemos \dfrac{d}{dx}\big(\cos(x^{3})\big)=-\sin(x^{3})\cdot 3x^{2}, então algo parecido com x^{2}\sin(x^{3}) é o que sobra após dividir por 3. Vou mostrar isso passo a passo.

Passo 3

Calcular o diferencial de u:
u = x^{3}\quad\Rightarrow\quad du = 3x^{2}\,dx.
Isolando x^{2}\,dx obtemos
x^{2}\,dx = \frac{du}{3}.
Agora substituímos na integral original: o fator \sin(x^{3}) torna-se \sin(u) e x^{2}\,dx torna-se \dfrac{du}{3}. Assim
\int x^{2}\sin\!\left(x^{3}\right)\,dx = \int \sin(u)\cdot\frac{du}{3}.

Passo 4

Fatorando a constante \dfrac{1}{3} para fora da integral, temos
\int \sin(u)\cdot\frac{du}{3} = \frac{1}{3}\int \sin(u)\,du.
Sabendo que uma primitiva de \sin(u) é -\cos(u) (porque \dfrac{d}{du}(-\cos u)=\sin u), obtenho
\frac{1}{3}\int \sin(u)\,du = \frac{1}{3}\big(-\cos(u)\big)+C = -\frac{1}{3}\cos(u)+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Voltando à variável original usando u=x^{3}, a primitiva fica
-\frac{1}{3}\cos\!\left(x^{3}\right)+C.
Como verificação rápida (muito útil na prova): derivando essa resposta pelo teorema fundamental do cálculo inverso,
\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{3}\cos(x^{3})\right) = -\frac{1}{3}\big(-\sin(x^{3})\big)\cdot 3x^{2} = x^{2}\sin(x^{3}),
que é exatamente o integrando original. Beleza — está consistente.

Passo 6

Dica prática para a prova: sempre procure dentro das funções compostas (aqui x^{3} dentro de \sin) se a derivada externa aparece multiplicando. Se a derivada não aparecer com o fator exato, pode-se multiplicar e dividir pelo mesmo número (aqui dividir por 3 faria o papel). Exemplos rápidos:
\int x^{2}\cos(x^{3})\,dx = \frac{1}{3}\sin(x^{3})+C, \qquad \int x^{2}e^{x^{3}}\,dx = \frac{1}{3}e^{x^{3}}+C.

Resposta

-\dfrac{1}{3}\cos\!\left(x^{3}\right)+C

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