Passo 1
O enunciado dá a integral indefinida
e pede para calcular seu antiderivado (ou seja, encontrar uma função
tal que
). Não há outros dados; é uma integral indefinida simples.
Passo 2
Vamos observar a estrutura do integrando e identificar uma substituição conveniente. Repare que dentro do seno aparece a expressão
e que fora do seno temos um fator em
. Isso sugere a substituição
Explicando didaticamente: a técnica de substituição (ou mudança de variável) funciona porque se
e
, então integrar em
pode virar integrar em
. Aqui a razão é a regra da cadeia ao contrário: se tivéssemos
, então algo parecido com
é o que sobra após dividir por
. Vou mostrar isso passo a passo.
Passo 3
Calcular o diferencial de
:
Isolando
obtemos
Agora substituímos na integral original: o fator
torna-se
e
torna-se
. Assim
Passo 4
Fatorando a constante
para fora da integral, temos
Sabendo que uma primitiva de
é
(porque
), obtenho
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Voltando à variável original usando
, a primitiva fica
Como verificação rápida (muito útil na prova): derivando essa resposta pelo teorema fundamental do cálculo inverso,
que é exatamente o integrando original. Beleza — está consistente.
Passo 6
Dica prática para a prova: sempre procure dentro das funções compostas (aqui
dentro de
) se a derivada externa aparece multiplicando. Se a derivada não aparecer com o fator exato, pode-se multiplicar e dividir pelo mesmo número (aqui dividir por
faria o papel). Exemplos rápidos: