\int \frac{e^{2 x}-1}{e^{2 x}+1} d x.

Passo 1

O enunciado pede calcular
\int \frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}\,dx.
O conteúdo é integração de uma função que envolve exponenciais; vamos usar manipulação algébrica para simplificar o integrando e depois uma substituição para resolver a parte restante.

Passo 2

Observe que
e^{2x}-1 = (e^{2x}+1) - 2,
logo
\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1} = 1 - \frac{2}{e^{2x}+1}.
Dessa forma, o integral se separa em duas partes.

Passo 3

Escrevendo a integral como soma, temos
\int \frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}\,dx = \int 1\,dx \;-\; 2\int \frac{1}{e^{2x}+1}\,dx = x \;-\; 2\int \frac{1}{e^{2x}+1}\,dx + C_1.

Passo 4

Para calcular \displaystyle \int \frac{1}{e^{2x}+1}\,dx, faça a substituição
t = e^{x},\quad dt = e^{x}\,dx,\quad e^{2x}=t^{2},\quad dx=\frac{dt}{t}.
Então
\int \frac{1}{e^{2x}+1}\,dx = \int \frac{1}{t^{2}+1}\,\frac{dt}{t} = \int \frac{dt}{t(t^{2}+1)}.

Passo 5

Fazendo frações parciais em \displaystyle \frac{1}{t(t^{2}+1)}:
\frac{1}{t(t^{2}+1)} = \frac{A}{t} + \frac{Bt+C}{t^{2}+1}.
Igualando numeradores chega-se a A=1, B=-1, C=0. Logo
\frac{1}{t(t^{2}+1)} = \frac{1}{t} - \frac{t}{t^{2}+1}.
Integrando,
\int \frac{dt}{t} - \int \frac{t\,dt}{t^{2}+1} = \ln|t| - \frac{1}{2}\ln\bigl(t^{2}+1\bigr) + C_2.
Voltando a x (e lembrando que t=e^{x}>0),
\int \frac{1}{e^{2x}+1}\,dx = x - \tfrac12\ln\bigl(e^{2x}+1\bigr) + C_2.

Passo 6

Substituindo de volta em \displaystyle x - 2\int \frac{1}{e^{2x}+1}\,dx, obtemos
x - 2\Bigl(x - \tfrac12\ln\bigl(e^{2x}+1\bigr)\Bigr) + C = -x + \ln\bigl(e^{2x}+1\bigr) + C.

Resposta

\ln\bigl(e^{2x}+1\bigr)\;-\;x\;+\;C.

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