\int \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} d x.

Passo 1

O enunciado pede a integral
\int \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\;dx.
O conteúdo é integração por substituição: vamos escolher uma substituição que transforme a raiz numa função racional de uma nova variável.

Passo 2

Definimos
u = \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}.
Então
u^2 = \frac{1+x}{1-x} \quad\Longrightarrow\quad u^2(1 - x) = 1 + x \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{u^2 - 1}{u^2 + 1}.
Derivando em relação a u,
dx = \frac{d}{du}\!\Bigl(\frac{u^2 - 1}{u^2 + 1}\Bigr)\,du = \frac{4u}{(u^2 + 1)^2}\;du.

Passo 3

Na integral, a raiz vira u e dx é \tfrac{4u}{(u^2+1)^2}du. Logo
\int \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\;dx = \int u\;\frac{4u}{(u^2+1)^2}\;du = \int \frac{4u^2}{(u^2+1)^2}\;du.
Fazemos a decomposição
\frac{4u^2}{(u^2+1)^2} = 4\;\frac{u^2+1-1}{(u^2+1)^2} = 4\Bigl(\frac{1}{u^2+1} - \frac{1}{(u^2+1)^2}\Bigr).

Passo 4

A integral se separa em
4\int \frac{1}{u^2+1}\;du \;-\; 4\int \frac{1}{(u^2+1)^2}\;du.
Sabemos que
\int \frac{1}{u^2+1}\;du = \arctan u,
e também a fórmula
\int \frac{1}{(u^2+1)^2}\;du = \frac{u}{2(u^2+1)} + \frac{1}{2}\arctan u.
Portanto
4\arctan u \;-\; 4\Bigl(\frac{u}{2(u^2+1)} + \frac12\arctan u\Bigr) = 2\arctan u - \frac{2u}{u^2+1} + C.

Passo 5

Voltando a x, temos
u = \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}, \qquad u^2+1 = \frac{2}{1-x} \quad\Longrightarrow\quad \frac{u}{u^2+1} = \frac{\sqrt{1+x}\,\sqrt{1-x}}{2} = \frac{\sqrt{1-x^2}}{2}.
Assim
2\arctan u - \frac{2u}{u^2+1} = 2\arctan\!\sqrt{\tfrac{1+x}{1-x}} - \sqrt{1-x^2} + C.
Como \;2\arctan\sqrt{\tfrac{1+x}{1-x}} = \arcsin x + \tfrac\pi2, o termo \tfrac\pi2 vai para a constante, e obtemos a forma mais simples.

Resposta

\int \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\;dx = \arcsin x \;-\;\sqrt{1-x^2} \;+\; C.

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