5- \int \sqrt{x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \sqrt{x}\,dx
Este é um caso de integração de função potência, em que usamos a regra
\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,\quad n\neq -1.

Passo 2

Reescrevemos \sqrt{x} como potência:
\sqrt{x} = x^{\tfrac12},
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\int \sqrt{x}\,dx = \int x^{\tfrac12}\,dx.

Passo 3

Aplicando a regra de potência com n = \tfrac12:
\int x^{\tfrac12}\,dx = \frac{x^{\tfrac12 + 1}}{\tfrac12 + 1} + C = \frac{x^{\tfrac32}}{\tfrac32} + C.

Passo 4

Simplificando o coeficiente:
\frac{1}{\tfrac32} = \frac{2}{3},
então
\frac{x^{\tfrac32}}{\tfrac32} = \frac{2}{3}\,x^{\tfrac32}.

Resposta

\int \sqrt{x}\,dx = \frac{2}{3}\,x^{\tfrac32} + C.

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