Passo 1
O enunciado pede calcular a primitiva (integral indefinida) da função racional
Informações úteis dadas pelo enunciado:
- O numerador é o polinômio
. - O denominador é o produto de dois quadráticos irreduzíveis reais:
. - A tarefa é encontrar uma antiderivada (adicionar a constante de integração
ao final).
Passo 2
Vou transformar a integral em termos mais fáceis de integrar usando decomposição em frações parciais. Razão lógica (sem nomes técnicos aqui): o integrando é um quociente de polinômios onde o denominador é produto de dois polinômios quadráticos. Nesse caso é normal tentar escrever a fração como soma de termos cuja integral seja conhecida. Como cada fator do denominador tem grau
, cada parcela terá um numerador de grau menor que
, ou seja, um polinômio linear. Portanto postulamos a forma:
onde
são constantes reais a determinar. A ideia é achar
fazendo as contas algébricas.
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados pela expressão
para eliminar denominadores. Isso nos dá a igualdade de polinômios:
Agora vamos expandir os produtos à direita e agrupar os termos por potências de
.
Expansão:
Somando:
Passo 4
Igualamos coeficientes dos dois lados (coeficientes de
Resolvendo:
- Subtraindo a primeira equação da terceira: .
- Com
, da primeira equação vem . - Para
e : subtraindo a segunda equação da quarta: . Logo . - Com
, da segunda equação vem .
Portanto:
Passo 5
Substituindo estes valores na decomposição obtemos:
Logo a integral se separa em duas integrais mais simples:
Agora integramos cada parcela separadamente.
Passo 6
Primeira parcela:
.
Use substituição simples: seja
. Então
, ou seja
. Assim
Voltando para
:
Observação:
para todo
, então poderíamos omitir barras de módulo, mas escrevo a forma padrão com ln.
Passo 7
Segunda parcela:
.
Recorde (fórmula padrão): para
,
Aqui
é da forma
com
. Aplicando a fórmula:
(se preferir, essa fórmula deriva via substituição
ou usando derivada de
).
Passo 8
Somando os resultados das duas parcelas obtemos uma antiderivada da função original:
onde
é a constante de integração.