1. \int \frac{x^{3}+x^{2}+2 x+1}{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+2\right)} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a primitiva (integral indefinida) da função racional
\int \frac{x^{3}+x^{2}+2x+1}{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+2\right)}\,dx.
Informações úteis dadas pelo enunciado:
  • O numerador é o polinômio x^{3}+x^{2}+2x+1.
  • O denominador é o produto de dois quadráticos irreduzíveis reais: \left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+2\right).
  • A tarefa é encontrar uma antiderivada (adicionar a constante de integração C ao final).

Passo 2

Vou transformar a integral em termos mais fáceis de integrar usando decomposição em frações parciais. Razão lógica (sem nomes técnicos aqui): o integrando é um quociente de polinômios onde o denominador é produto de dois polinômios quadráticos. Nesse caso é normal tentar escrever a fração como soma de termos cuja integral seja conhecida. Como cada fator do denominador tem grau 2, cada parcela terá um numerador de grau menor que 2, ou seja, um polinômio linear. Portanto postulamos a forma:
\frac{x^{3}+x^{2}+2x+1}{(x^{2}+1)(x^{2}+2)}=\frac{Ax+B}{x^{2}+1}+\frac{Cx+D}{x^{2}+2},
onde A,B,C,D são constantes reais a determinar. A ideia é achar A,B,C,D fazendo as contas algébricas.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados pela expressão (x^{2}+1)(x^{2}+2) para eliminar denominadores. Isso nos dá a igualdade de polinômios:
x^{3}+x^{2}+2x+1=(Ax+B)(x^{2}+2)+(Cx+D)(x^{2}+1).
Agora vamos expandir os produtos à direita e agrupar os termos por potências de x.
Expansão:
(Ax+B)(x^{2}+2)=A x^{3}+B x^{2}+2A x+2B,
(Cx+D)(x^{2}+1)=C x^{3}+D x^{2}+C x+D.
Somando:
(A+C)x^{3} + (B+D)x^{2} + (2A+C)x + (2B+D).

Passo 4

Igualamos coeficientes dos dois lados (coeficientes de x^{3},x^{2},x,1\)). Assim obtemos o sistema linear: \[\begin{cases} A + C = 1,\\[4pt] B + D = 1,\\[4pt] 2A + C = 2,\\[4pt] 2B + D = 1. \end{cases}
Resolvendo:
  • Subtraindo a primeira equação da terceira: (2A+C)-(A+C)=A=2-1=1\]. Logo \(\,A=1.
  • Com A=1, da primeira equação vem C=1-A=0.
  • Para B e D: subtraindo a segunda equação da quarta: (2B+D)-(B+D)=B=1-1=0. Logo \,B=0.
  • Com B=0, da segunda equação vem D=1-B=1.
Portanto:
A=1,\qquad B=0,\qquad C=0,\qquad D=1.]

Passo 5

Substituindo estes valores na decomposição obtemos:
\frac{x^{3}+x^{2}+2x+1}{(x^{2}+1)(x^{2}+2)}=\frac{x}{x^{2}+1}+\frac{1}{x^{2}+2}.
Logo a integral se separa em duas integrais mais simples:
\int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx + \int \frac{1}{x^{2}+2}\,dx.
Agora integramos cada parcela separadamente.

Passo 6

Primeira parcela: \displaystyle \int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx.
Use substituição simples: seja u=x^{2}+1. Então du=2x\,dx, ou seja x\,dx=\dfrac{du}{2}. Assim
\int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx=\int \frac{1}{u}\cdot\frac{du}{2}=\frac{1}{2}\int \frac{du}{u}=\frac{1}{2}\ln|u|+\text{const}.
Voltando para x:
\int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx=\frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+1\bigr).
Observação: \,x^{2}+1>0 para todo x, então poderíamos omitir barras de módulo, mas escrevo a forma padrão com ln.

Passo 7

Segunda parcela: \displaystyle \int \frac{1}{x^{2}+2}\,dx.
Recorde (fórmula padrão): para a>0,
\int \frac{dx}{x^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{x}{a}\right)+\text{const}.
Aqui x^{2}+2 é da forma x^{2}+(\sqrt{2})^{2} com a=\sqrt{2}. Aplicando a fórmula:
\int \frac{1}{x^{2}+2}\,dx=\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\!\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right).
(se preferir, essa fórmula deriva via substituição x=a\tan t ou usando derivada de \arctan).

Passo 8

Somando os resultados das duas parcelas obtemos uma antiderivada da função original:
\frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)+\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\!\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)+C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

\frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)+\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\!\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)+C

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