Um peru assado é tirado de um forno quando a sua temperatura atinge 85^{\circ} \mathrm{C} e é colocado sobre uma mesa em um cômodo em que a temperatura é 22^{\circ} \mathrm{C}.
(a) Se a temperatura do peru for 65^{\circ} \mathrm{C} depois de meia hora, qual será a temperatura depois de 45 minutos?
(b) Quando o peru terá esfriado para 40^{\circ} \mathrm{C} ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, para não nos perdermos (peguei estes números do enunciado).
  • Dados:
    • A temperatura ambiente é T_s = 22^{\circ}\mathrm{C}.
    • No instante inicial t=0 o peru tem T(0)=T_0 = 85^{\circ}\mathrm{C}.
    • Depois de 30 minutos a temperatura é T(30)=65^{\circ}\mathrm{C}.
  • Perguntas:
    • (a) Qual será a temperatura do peru depois de 45 minutos?
    • (b) Em que instante (quantos minutos desde que foi tirado do forno) a temperatura atingirá 40^{\circ}\mathrm{C}?

Passo 2

Apresento a lei física que vamos usar e explico cada símbolo, com uma pequena derivação para ficar claro de onde vem a fórmula.
  • Lei de Newton do resfriamento (modelo): a taxa de variação da temperatura do corpo é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura ambiente. Em equação diferencial:
\frac{dT}{dt} = -k\bigl(T(t)-T_s\bigr),
onde:
  • T(t) é a temperatura do peru no tempo t;
  • T_s é a temperatura do ambiente (aqui 22^{\circ}\mathrm{C});
  • k>0 é a constante de proporcionalidade (taxa de resfriamento), com unidades \text{min}^{-1} se t estiver em minutos;
  • o sinal menos indica que T(t) decresce quando T(t)>T_s.
  • Resolvendo essa equação diferencial por separação de variáveis:
\frac{dT}{T-T_s} = -k\,dt.
Integrando ambos os lados,
\ln|T-T_s| = -kt + C,
onde C é a constante de integração. Exponenciando e reescrevendo com a condição T(0)=T_0 obtemos a forma padrão:
T(t)=T_s + (T_0-T_s)e^{-kt}.
Aqui T_0-T_s é a diferença inicial de temperatura, que funciona como amplitude da exponencial.
  • No nosso caso específico:
T(t)=22^{\circ}\mathrm{C} + \bigl(85^{\circ}\mathrm{C}-22^{\circ}\mathrm{C}\bigr)e^{-kt} =22^{\circ}\mathrm{C} + 63^{\circ}\mathrm{C}\,e^{-kt}.

Passo 3

Usar a informação T(30)=65^{\circ}\mathrm{C} para determinar k. Substituindo t=30 na fórmula:
65 = 22 + 63 e^{-30k}.
Isolando a exponencial:
65-22 = 63 e^{-30k}\quad\Rightarrow\quad 43 = 63 e^{-30k}.
Portanto
e^{-30k} = \frac{43}{63}.
Aplicando logaritmo natural para encontrar k:
-30k = \ln\!\left(\frac{43}{63}\right) \quad\Rightarrow\quad k = -\frac{1}{30}\ln\!\left(\frac{43}{63}\right).
Este é o valor exato simbólico de k. Agora uma aproximação numérica (útil para calcular temperaturas): primeiro
\ln\!\left(\frac{43}{63}\right)\approx -0{,}3819346107,
logo
k \approx 0{,}0127311537\\ \text{min}^{-1}.

Passo 4

Parte (a): calcular T(45).
Usando a fórmula geral
T(45)=22 + 63 e^{-45k}.
Podemos aproveitar que já sabemos e^{-30k}=\dfrac{43}{63}. Observe que
e^{-45k} = e^{-30k} \cdot e^{-15k} = \bigl(e^{-30k}\bigr)^{3/2} = \left(\frac{43}{63}\right)^{3/2},
porque 45 = 30\times\frac{3}{2}. Assim temos uma expressão em termos do número que já conhecemos:
T(45)=22 + 63\left(\frac{43}{63}\right)^{3/2}.
Agora a aproximação numérica (usando k ou a expressão acima):
e^{-45k}\approx 0{,}564020\quad\Rightarrow\quad 63 e^{-45k}\approx 35{,}532263
e portanto
T(45)\approx 22 + 35{,}532263 = 57{,}532263^{\circ}\mathrm{C}.
Arredondando de forma razoável para duas casas decimais:
T(45)\approx 57{,}53^{\circ}\mathrm{C}.

Passo 5

Parte (b): encontrar t tal que T(t)=40^{\circ}\mathrm{C}.
Partimos de
40 = 22 + 63 e^{-kt}.
Isolando a exponencial:
40-22 = 63 e^{-kt}\quad\Rightarrow\quad 18 = 63 e^{-kt}.
Note que a fração simplifica:
e^{-kt} = \frac{18}{63} = \frac{2}{7}.
Aplicando logaritmo natural:
-kt = \ln\!\left(\frac{2}{7}\right) \quad\Rightarrow\quad t = -\frac{1}{k}\ln\!\left(\frac{2}{7}\right).
Podemos substituir a expressão de k que encontramos em termos de logaritmos:
k = -\frac{1}{30}\ln\!\left(\frac{43}{63}\right),
então
t = 30\;\frac{\ln\!\left(\dfrac{2}{7}\right)}{\ln\!\left(\dfrac{43}{63}\right)}.
Numérica e diretamente, usando k\approx 0{,}0127311537\\ \text{min}^{-1}:
t \approx \frac{-\ln\!\left(\dfrac{2}{7}\right)}{0{,}0127311537} \approx \frac{1{,}2527629685}{0{,}0127311537} \approx 98{,}450571\\ \text{min}.
Convertendo para horas e minutos: 98{,}450571\\ \text{min} é 1 hora, 38 minutos e cerca de 27 segundos (porque 0{,}450571\cdot 60\approx 27{,}03 s).

Passo 6

Resumo e interpretação rápida (ânimo!): (a) depois de 45 minutos o peru ainda estará quente, perto de 57{,}5^{\circ}\mathrm{C}; (b) para chegar a 40^{\circ}\mathrm{C} vai demorar aproximadamente 98{,}45 minutos desde que saiu do forno (ou cerca de 1 h 38 min 27 s).

Resposta

(a) T(45)\approx 57{,}53^{\circ}\mathrm{C}
(b) t\approx 98{,}45\\ \text{min} (aprox. 1 h 38 min 27 s)

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