Um peru assado é tirado de um forno quando a sua temperatura atinge
e é colocado sobre uma mesa em um cômodo em que a temperatura é
.
(a) Se a temperatura do peru for
depois de meia hora, qual será a temperatura depois de 45 minutos?
(b) Quando o peru terá esfriado para
?
(a) Se a temperatura do peru for
(b) Quando o peru terá esfriado para
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, para não nos perdermos (peguei estes números do enunciado).
-
Dados:
- A temperatura ambiente é
. - No instante inicial
o peru tem . - Depois de
minutos a temperatura é .
- A temperatura ambiente é
-
Perguntas:
- (a) Qual será a temperatura do peru depois de
minutos? - (b) Em que instante (quantos minutos desde que foi tirado do forno) a temperatura atingirá
?
- (a) Qual será a temperatura do peru depois de
Passo 2
Apresento a lei física que vamos usar e explico cada símbolo, com uma pequena derivação para ficar claro de onde vem a fórmula.
- Lei de Newton do resfriamento (modelo): a taxa de variação da temperatura do corpo é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura ambiente. Em equação diferencial:
onde:
-
é a temperatura do peru no tempo ; -
é a temperatura do ambiente (aqui ); -
é a constante de proporcionalidade (taxa de resfriamento), com unidades se estiver em minutos; -
o sinal menos indica que
decresce quando . -
Resolvendo essa equação diferencial por separação de variáveis:
Integrando ambos os lados,
onde
é a constante de integração. Exponenciando e reescrevendo com a condição
obtemos a forma padrão:
Aqui
é a diferença inicial de temperatura, que funciona como amplitude da exponencial.
- No nosso caso específico:
Passo 3
Usar a informação
para determinar
. Substituindo
na fórmula:
Isolando a exponencial:
Portanto
Aplicando logaritmo natural para encontrar
:
Este é o valor exato simbólico de
. Agora uma aproximação numérica (útil para calcular temperaturas): primeiro
logo
Passo 4
Parte (a): calcular
.
Usando a fórmula geral
Podemos aproveitar que já sabemos
. Observe que
porque
. Assim temos uma expressão em termos do número que já conhecemos:
Agora a aproximação numérica (usando
ou a expressão acima):
e portanto
Arredondando de forma razoável para duas casas decimais:
Passo 5
Parte (b): encontrar
tal que
.
Partimos de
Isolando a exponencial:
Note que a fração simplifica:
Aplicando logaritmo natural:
Podemos substituir a expressão de
que encontramos em termos de logaritmos:
então
Numérica e diretamente, usando
:
Convertendo para horas e minutos:
é
hora,
minutos e cerca de
segundos (porque
s).
Passo 6
Resumo e interpretação rápida (ânimo!): (a) depois de
minutos o peru ainda estará quente, perto de
; (b) para chegar a
vai demorar aproximadamente
minutos desde que saiu do forno (ou cerca de
h
min
s).
Resposta
(a)
(b) (aprox.
h
min
s)
(b)