1. \int \frac{x^{2}-2 x-1}{(x-1)^{2}\left(x^{2}+1\right)} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{2}-2 x-1}{(x-1)^{2}\left(x^{2}+1\right)}\,dx.
Informações dadas e objetivos claros:
  • O numerador é \,x^{2}-2x-1\,.
  • O denominador é (x-1)^{2}(x^{2}+1).
  • Queremos uma primitiva (antiderivada) da função racional acima, isto é, encontrar uma expressão F(x) tal que F'(x) seja a função integranda, mais a constante de integração C.

Passo 2

Estratégia escolhida (explicação didática): quando uma integranda é uma fração racional cujo denominador fatora em fatores lineares e quadráticos irreducíveis, o método padrão é decompor em frações parciais. Isso transforma a integral complicada numa soma de integrais simples que já conhecemos.
Como (x-1) é um fator linear repetido de multiplicidade 2 e x^{2}+1 é um quadrado irreducível real, a forma geral da decomposição é:
\frac{x^{2}-2x-1}{(x-1)^{2}(x^{2}+1)} = \frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^{2}}+\frac{Cx+D}{x^{2}+1},
onde A,B,C,D são constantes reais a determinar.
Explicando por que essa forma: para cada fator linear (x-a) repetido \,m vezes, usamos termos \dfrac{A_1}{x-a}+\dfrac{A_2}{(x-a)^2}+\cdots+\dfrac{A_m}{(x-a)^m}. Para fator quadrático irreduzível de grau 2 usamos um numerador afim (Cx+D).

Passo 3

Agora determinamos A,B,C,D multiplicando ambos os lados pela denominação comum (x-1)^{2}(x^{2}+1) e comparando coeficientes.
Multiplicando,
x^{2}-2x-1 = A(x-1)(x^{2}+1) + B(x^{2}+1) + (Cx+D)(x-1)^{2}.
Vou expandir cada termo passo a passo.
Primeiro:
(x-1)(x^{2}+1)=x^{3}-x^{2}+x-1,
logo
A(x-1)(x^{2}+1)=A x^{3}-A x^{2}+A x - A.
Segundo:
B(x^{2}+1)=B x^{2}+B.
Terceiro:
(x-1)^{2}=x^{2}-2x+1,
(Cx+D)(x^{2}-2x+1)=C x^{3}+(-2C+D)x^{2}+(C-2D)x+D.
Somando todos:
\begin{aligned} \text{coeficiente de }x^{3}:&\quad A + C,\\\ \text{coeficiente de }x^{2}:&\quad -A + B -2C + D,\\\ \text{coeficiente de }x^{1}:&\quad A + C -2D,\\\ \text{termo constante}:&\quad -A + B + D. \end{aligned}
Esses devem coincidir com os coeficientes do polinômio do lado esquerdo x^{2}-2x-1, ou seja:
\begin{aligned} x^{3}:&\\\ 0,\\\ x^{2}:&\\\ 1,\\\ x^{1}:&\\\ -2,\\\ \text{constante}:&\\\ -1. \end{aligned}
Portanto montamos o sistema linear:
\begin{cases} A + C = 0,\\[4pt] - A + B -2C + D = 1,\\[4pt] A + C -2D = -2,\\[4pt] - A + B + D = -1. \end{cases}]

Passo 4

Resolver o sistema (passo a passo, sem pular etapas).
Da primeira equação \,A + C = 0\, obtemos
C = -A.
Substituindo isso na terceira equação \,A + C - 2D = -2\,:
A + (-A) - 2D = -2 \quad\Rightarrow\quad -2D = -2 \quad\Rightarrow\quad D = 1.
Usando D=1 na quarta equação -A + B + D = -1:
- A + B + 1 = -1 \quad\Rightarrow\quad -A + B = -2 \quad\Rightarrow\quad B = A - 2.
Agora substituímos C=-A, D=1 e B=A-2 na segunda equação -A + B -2C + D = 1:
- A + (A-2) - 2(-A) + 1 = 1.
Calcule passo a passo:
- A + A -2 + 2A + 1 = 1 \quad\Rightarrow\quad 2A -1 = 1 \quad\Rightarrow\quad 2A = 2 \quad\Rightarrow\quad A = 1.
Com A=1 segue:
C = -A = -1,\qquad B = A-2 = -1,\qquad D = 1.
Resumo dos valores:
A=1,\quad B=-1,\quad C=-1,\quad D=1.

Passo 5

Reescrevendo a decomposição com os valores encontrados:
\frac{x^{2}-2x-1}{(x-1)^{2}(x^{2}+1)} = \frac{1}{x-1}-\frac{1}{(x-1)^{2}}+\frac{-x+1}{x^{2}+1}.
Separe em termos fáceis de integrar:
\frac{1}{x-1}-\frac{1}{(x-1)^{2}}-\frac{x}{x^{2}+1}+\frac{1}{x^{2}+1}.
Agora recordando fórmulas/ideias de integração que vamos usar (mini-aula):
  • Para \displaystyle \int \frac{1}{x-a}\,dx = \ln|x-a| + C. Aqui a=1.
  • Para potências \displaystyle \int (x-a)^{n}\,dx = \frac{(x-a)^{n+1}}{n+1}+C (quando n\neq -1). Em particular \displaystyle \int (x-1)^{-2}\,dx = \frac{(x-1)^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x-1} + C.
  • Para \displaystyle \int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx use substituição u=x^{2}+1, du=2x\,dx, então \displaystyle \int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx = \tfrac{1}{2}\ln(x^{2}+1) + C.
  • Para \displaystyle \int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx = \arctan x + C.
Dica prática: sempre que aparecer um numerador que é derivada (ou múltiplo) do denominador, a integral vira log; se o denominador for x^{2}+1 com numerador constante, é arctan.

Passo 6

Integrar termo a termo, explicando cada cálculo:
  1. \displaystyle \int \frac{1}{x-1}\,dx = \ln|x-1| + C_1.
  2. \displaystyle \int -\frac{1}{(x-1)^{2}}\,dx = -\int (x-1)^{-2}\,dx.
    Usando a regra de potências:
-\int (x-1)^{-2}\,dx = -\left( \frac{(x-1)^{-1}}{-1} \right) = \frac{1}{x-1}.
  1. \displaystyle \int -\frac{x}{x^{2}+1}\,dx. Use u=x^{2}+1, du=2x\,dx. Então
\int -\frac{x}{x^{2}+1}\,dx = -\frac{1}{2}\int \frac{du}{u} = -\frac{1}{2}\ln(u) + C_3 = -\frac{1}{2}\ln(x^{2}+1).
  1. \displaystyle \int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx = \arctan x + C_4.
Somando todas as partes (absorvendo C_1,C_3,C_4 numa constante única C):
\int \frac{x^{2}-2x-1}{(x-1)^{2}(x^{2}+1)}\,dx = \ln|x-1| + \frac{1}{x-1} -\frac{1}{2}\ln(x^{2}+1) + \arctan x + C.

Passo 7

Pequena verificação rápida (cheque mental): derivando o resultado term‑a‑term recupera-se a expressão original (log deriva para 1/(x-1), 1/(x-1) deriva para -1/(x-1)^2, o log de x^2+1 dá termo com x/(x^2+1) e arctan dá 1/(x^2+1)). Isso confirma coerência.

Resposta

\ln|x-1|+\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{2}\ln(x^{2}+1)+\arctan x+C

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