Queremos uma primitiva (antiderivada) da função racional acima, isto é, encontrar uma expressão F(x) tal que F'(x) seja a função integranda, mais a constante de integração C.
Passo 2
Estratégia escolhida (explicação didática): quando uma integranda é uma fração racional cujo denominador fatora em fatores lineares e quadráticos irreducíveis, o método padrão é decompor em frações parciais. Isso transforma a integral complicada numa soma de integrais simples que já conhecemos.
Como (x-1) é um fator linear repetido de multiplicidade 2 e x^{2}+1 é um quadrado irreducível real, a forma geral da decomposição é:
Explicando por que essa forma: para cada fator linear (x-a) repetido \,m vezes, usamos termos \dfrac{A_1}{x-a}+\dfrac{A_2}{(x-a)^2}+\cdots+\dfrac{A_m}{(x-a)^m}. Para fator quadrático irreduzível de grau 2 usamos um numerador afim (Cx+D).
Passo 3
Agora determinamos A,B,C,D multiplicando ambos os lados pela denominação comum (x-1)^{2}(x^{2}+1) e comparando coeficientes.
\begin{aligned} \text{coeficiente de }x^{3}:&\quad A + C,\\\ \text{coeficiente de }x^{2}:&\quad -A + B -2C + D,\\\ \text{coeficiente de }x^{1}:&\quad A + C -2D,\\\ \text{termo constante}:&\quad -A + B + D. \end{aligned}
Esses devem coincidir com os coeficientes do polinômio do lado esquerdo x^{2}-2x-1, ou seja:
Agora recordando fórmulas/ideias de integração que vamos usar (mini-aula):
Para \displaystyle \int \frac{1}{x-a}\,dx = \ln|x-a| + C. Aqui a=1.
Para potências \displaystyle \int (x-a)^{n}\,dx = \frac{(x-a)^{n+1}}{n+1}+C (quando n\neq -1). Em particular \displaystyle \int (x-1)^{-2}\,dx = \frac{(x-1)^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x-1} + C.
Para \displaystyle \int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx use substituição u=x^{2}+1, du=2x\,dx, então \displaystyle \int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx = \tfrac{1}{2}\ln(x^{2}+1) + C.
Para \displaystyle \int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx = \arctan x + C.
Dica prática: sempre que aparecer um numerador que é derivada (ou múltiplo) do denominador, a integral vira log; se o denominador for x^{2}+1 com numerador constante, é arctan.
\displaystyle \int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx = \arctan x + C_4.
Somando todas as partes (absorvendo C_1,C_3,C_4 numa constante única C):
\int \frac{x^{2}-2x-1}{(x-1)^{2}(x^{2}+1)}\,dx = \ln|x-1| + \frac{1}{x-1} -\frac{1}{2}\ln(x^{2}+1) + \arctan x + C.
Passo 7
Pequena verificação rápida (cheque mental): derivando o resultado term‑a‑term recupera-se a expressão original (log deriva para 1/(x-1), 1/(x-1) deriva para -1/(x-1)^2, o log de x^2+1 dá termo com x/(x^2+1) e arctan dá 1/(x^2+1)). Isso confirma coerência.