1. \int \frac{x^{2}+x+1}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{2}+x+1}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}\,dx.
Informações dadas: só temos a função racional \dfrac{x^{2}+x+1}{(x^{2}+1)^{2}}. O objetivo é encontrar uma primitiva (uma antiderivada) dessa função, ou seja uma expressão F(x) tal que F'(x)=\dfrac{x^{2}+x+1}{(x^{2}+1)^{2}}.

Passo 2

Observação útil (técnica padrão para racionais): tentar escrever o numerador como soma de termos que correspondam a derivadas de partes do denominador ou a partes fáceis de integrar. Vou procurar identificar uma parte do numerador que seja exatamente a derivada de alguma função simples envolvendo x^{2}+1.
Calcule a derivada da função \dfrac{x}{x^{2}+1}. A derivada por quociente ou regra do produto é
\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{x^{2}+1}\right) = \frac{1\cdot(x^{2}+1) - x\cdot 2x}{(x^{2}+1)^{2}} = \frac{1 - x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}.

Passo 3

Note que a expressão encontrada na derivada é \dfrac{1-x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}. Nosso integrando tem numerador x^{2}+x+1. Podemos então decompor esse numerador agrupando um termo que gere (1-x^{2}). Escrevo
x^{2}+x+1 = (1-x^{2}) + (2x^{2}+x).
Logo a integral se separa:
\int \frac{x^{2}+x+1}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx = \int \frac{1-x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx + \int \frac{2x^{2}+x}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx.

Passo 4

A primeira integral é imediata porque já vimos a derivada:
\int \frac{1-x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx = \frac{x}{x^{2}+1} + C_1,
pois \dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{x}{x^{2}+1}\right)=\dfrac{1-x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}.

Passo 5

Agora tratamos a segunda integral
\int \frac{2x^{2}+x}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx.
Faço a divisão do numerador em termos que facilitem a simplificação:
2x^{2}+x = 2(x^{2}+1) + (x-2).
Portanto
\frac{2x^{2}+x}{(x^{2}+1)^{2}} = \frac{2(x^{2}+1)}{(x^{2}+1)^{2}} + \frac{x-2}{(x^{2}+1)^{2}} = \frac{2}{x^{2}+1} + \frac{x}{(x^{2}+1)^{2}} - \frac{2}{(x^{2}+1)^{2}}.

Passo 6

Assim a segunda integral se escreve como soma de três integrais mais simples:
\int \frac{2x^{2}+x}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx = 2\int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx + \int \frac{x}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx - 2\int \frac{1}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx.

Passo 7

Calculo cada uma:
  1. A integral da função \dfrac{1}{x^{2}+1} é a conhecida primitiva \arctan x, ou seja
\int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx = \arctan x + C.
  1. Para \displaystyle \int \frac{x}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx faço substituição u=x^{2}+1. Então du=2x\,dx e x\,dx=\dfrac{1}{2}du. Assim
\int \frac{x}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx = \frac{1}{2}\int u^{-2}\,du = \frac{1}{2}\left(-u^{-1}\right)+C = -\frac{1}{2(x^{2}+1)} + C.
  1. Para \displaystyle \int \frac{1}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx uso a substituição trigonométrica x=\tan\theta. Explico passo a passo:
  • Se x=\tan\theta então dx=\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta e x^{2}+1=\operatorname{sec}^{2}\theta.
  • O integrando fica
\frac{1}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx = \frac{1}{\operatorname{sec}^{4}\theta}\cdot \operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta = \cos^{2}\theta\,d\theta.
  • Use a identidade \cos^{2}\theta = \dfrac{1+\cos 2\theta}{2}. Então
\int \cos^{2}\theta\,d\theta = \frac{1}{2}\int 1\,d\theta + \frac{1}{2}\int \cos 2\theta\,d\theta = \frac{\theta}{2} + \frac{\sin 2\theta}{4} + C.
  • Volto para x: \theta=\arctan x e \sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta. Com x=\tan\theta temos \sin\theta=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^{2}}} e \cos\theta=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}, então
\sin 2\theta = 2\frac{x}{1+x^{2}} = \frac{2x}{1+x^{2}}.
  • Portanto
\int \frac{1}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx = \frac{1}{2}\arctan x + \frac{1}{4}\cdot\frac{2x}{1+x^{2}} + C = \frac{1}{2}\arctan x + \frac{1}{2}\cdot\frac{x}{1+x^{2}} + C.

Passo 8

Substituo as primitivas encontradas no passo 6:
\int \frac{2x^{2}+x}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx = 2\arctan x + \left(-\frac{1}{2(x^{2}+1)}\right) - 2\left(\frac{1}{2}\arctan x + \frac{1}{2}\cdot\frac{x}{1+x^{2}}\right) + C.
Simplifico termo a termo:
= 2\arctan x -\frac{1}{2(x^{2}+1)} - \bigl(\arctan x + \frac{x}{1+x^{2}}\bigr) + C = \arctan x -\frac{1}{2(x^{2}+1)} - \frac{x}{1+x^{2}} + C.

Passo 9

Agora volto à integral original, somando a contribuição do Passo 4 (primeira parte) com esta (segunda parte):
\int \frac{x^{2}+x+1}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx = \frac{x}{x^{2}+1} + \left(\arctan x -\frac{1}{2(x^{2}+1)} - \frac{x}{1+x^{2}}\right) + C.
Os termos \dfrac{x}{x^{2}+1} e -\dfrac{x}{1+x^{2}} se cancelam. Logo sobra
\int \frac{x^{2}+x+1}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx = \arctan x - \frac{1}{2(x^{2}+1)} + C.

Passo 10

Resumo final: a antiderivada que encontramos é compacta e pode ser verificada facilmente derivando-a (checar que a derivada de \arctan x - \dfrac{1}{2(x^{2}+1)} é exatamente o integrando). Isso confirma que o cálculo está correto.

Resposta

\arctan x - \dfrac{1}{2(x^{2}+1)} + C

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