Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas: só temos a função racional
. O objetivo é encontrar uma primitiva (uma antiderivada) dessa função, ou seja uma expressão
tal que
.
Passo 2
Observação útil (técnica padrão para racionais): tentar escrever o numerador como soma de termos que correspondam a derivadas de partes do denominador ou a partes fáceis de integrar. Vou procurar identificar uma parte do numerador que seja exatamente a derivada de alguma função simples envolvendo
.
Calcule a derivada da função
. A derivada por quociente ou regra do produto é
Passo 3
Note que a expressão encontrada na derivada é
. Nosso integrando tem numerador
. Podemos então decompor esse numerador agrupando um termo que gere
. Escrevo
Logo a integral se separa:
Passo 4
A primeira integral é imediata porque já vimos a derivada:
pois
.
Passo 5
Agora tratamos a segunda integral
Faço a divisão do numerador em termos que facilitem a simplificação:
Portanto
Passo 6
Assim a segunda integral se escreve como soma de três integrais mais simples:
Passo 7
Calculo cada uma:
- A integral da função
é a conhecida primitiva , ou seja
- Para
faço substituição . Então e . Assim
- Para
uso a substituição trigonométrica . Explico passo a passo:
- Se
então e . - O integrando fica
- Use a identidade
. Então
- Volto para
: e . Com temos e , então
- Portanto
Passo 8
Substituo as primitivas encontradas no passo 6:
Simplifico termo a termo:
Passo 9
Agora volto à integral original, somando a contribuição do Passo 4 (primeira parte) com esta (segunda parte):
Os termos
e
se cancelam. Logo sobra
Passo 10
Resumo final: a antiderivada que encontramos é compacta e pode ser verificada facilmente derivando-a (checar que a derivada de
é exatamente o integrando). Isso confirma que o cálculo está correto.