Seja Y uma variável aleatória com fdp dada por
y -3 -1 0 2 5 8 9
f_{Y}(y) 0,25 0,30 0,20 0,10 0,07 0,05 0,03
a) Qual a esperança ?
? b) Qual a variância?
c) Calcular P(-1 \leq y \leq 3)
d) Defina Z=2 Y-3. Encontre a fdp da variável aleatória Z.

Passo 1

O enunciado fornece uma variável aleatória discreta Y com a fdp (pmf) dada pelos pares y e f_Y(y). Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
Dados (peguei os números da tabela do enunciado):
  • Valores de Y e suas probabilidades:
    • Y=-3 com f_Y(-3)=0,25.
    • Y=-1 com f_Y(-1)=0,30.
    • Y=0 com f_Y(0)=0,20.
    • Y=2 com f_Y(2)=0,10.
    • Y=5 com f_Y(5)=0,07.
    • Y=8 com f_Y(8)=0,05.
    • Y=9 com f_Y(9)=0,03.
O enunciado pede:
(a) Calcular a esperança \mathbb{E}[Y].
(b) Calcular a variância \operatorname{Var}(Y).
(c) Calcular \mathbb{P}(-1 \le Y \le 3).
(d) Definir Z=2Y-3 e encontrar a fdp (pmf) de Z.

Passo 2

Conceito e fórmula da esperança para variável discreta (pequena aula):
  • Para uma variável aleatória discreta Y que toma valores y_i com probabilidades p_i=f_Y(y_i), a esperança (valor esperado) é a soma ponderada dos valores por suas probabilidades:
\mathbb{E}[Y]=\sum_i y_i\,p_i.
Aqui y_i são os possíveis valores de Y e p_i as respectivas probabilidades.
Agora aplico a fórmula usando os pares dados. Vou calcular cada produto y\cdot p e depois somar:
  • Para y=-3: (-3)\cdot 0,25 = -0,75.
  • Para y=-1: (-1)\cdot 0,30 = -0,30.
  • Para y=0: 0\cdot 0,20 = 0.
  • Para y=2: 2\cdot 0,10 = 0,20.
  • Para y=5: 5\cdot 0,07 = 0,35.
  • Para y=8: 8\cdot 0,05 = 0,40.
  • Para y=9: 9\cdot 0,03 = 0,27.
Somando todos os termos:
\mathbb{E}[Y] = -0,75 -0,30 +0 +0,20 +0,35 +0,40 +0,27.
Faço a soma passo a passo:
-0,75-0,30=-1,05,\qquad -1,05+0,20=-0,85,
-0,85+0,35=-0,50,\qquad -0,50+0,40=-0,10,
-0,10+0,27=0,17.
Logo
\mathbb{E}[Y]=0,17.

Passo 3

Conceito e fórmula da variância (pequena aula):
  • A variância mede a dispersão em torno da média. Uma fórmula conveniente é
\operatorname{Var}(Y)=\mathbb{E}[Y^2] - (\mathbb{E}[Y])^2,
onde \mathbb{E}[Y^2]=\sum_i y_i^2 p_i. Aqui \mathbb{E}[Y^2] é a esperança do quadrado de Y e (\mathbb{E}[Y])^2 é o quadrado da esperança já encontrada.
Vou calcular \mathbb{E}[Y^2] somando y^2\cdot p para cada valor:
  • Para y=-3: y^2=9, então 9\cdot 0,25 = 2,25.
  • Para y=-1: 1\cdot 0,30 = 0,30.
  • Para y=0: 0\cdot 0,20 = 0.
  • Para y=2: 4\cdot 0,10 = 0,40.
  • Para y=5: 25\cdot 0,07 = 1,75.
  • Para y=8: 64\cdot 0,05 = 3,20.
  • Para y=9: 81\cdot 0,03 = 2,43.
Somando:
\mathbb{E}[Y^2]=2,25+0,30+0+0,40+1,75+3,20+2,43.
Faço a soma passo a passo:
2,25+0,30=2,55,\qquad 2,55+0,40=2,95,
2,95+1,75=4,70,\qquad 4,70+3,20=7,90,
7,90+2,43=10,33.
Portanto \mathbb{E}[Y^2]=10,33.
Já tenho \mathbb{E}[Y]=0,17, então
(\mathbb{E}[Y])^2 = (0,17)^2 = 0,0289.
Agora a variância:
\operatorname{Var}(Y)=10,33 - 0,0289 = 10,3011.
Interpretação rápida: isso significa que a dispersão dos valores de Y em torno da média 0,17 tem variância 10,3011. Se quiser o desvio-padrão, seria a raiz quadrada dessa quantidade.

Passo 4

Cálculo da probabilidade \mathbb{P}(-1 \le Y \le 3).
Explicação: como Y é discreta, \mathbb{P}(-1 \le Y \le 3) é a soma das probabilidades dos valores de Y que satisfazem -1 \le y \le 3. Olhando a lista de valores de Y (da Passo 1), os valores que caem nesse intervalo são y=-1,0,2. (Os demais estão fora: -3< -1 e 5,8,9>3.)
Somando as probabilidades correspondentes:
\mathbb{P}(-1\le Y\le 3)=f_Y(-1)+f_Y(0)+f_Y(2)=0,30+0,20+0,10=0,60.

Passo 5

Transformação linear Z=2Y-3: como encontrar a fdp de Z (pequena aula).
  • Se Z=g(Y) com g injetora sobre os pontos da support de Y (ou ao menos conhecível), então a probabilidade de Z assumir um valor z é
\mathbb{P}(Z=z)=\mathbb{P}\big(Y=g^{-1}(z)\big),
ou, mais concretamente, para cada valor y do suporte de Y calcula-se z=2y-3 e atribui-se f_Z(z)=f_Y(y). Se dois diferentes y produzirem o mesmo z, soma-se suas probabilidades; aqui vamos verificar se isso ocorre.

Passo 6

Aplicando Z=2Y-3 a cada valor de Y (vou mostrar o cálculo de cada z e manter a probabilidade associada):
  • Para Y=-3: Z=2(-3)-3 = -6-3 = -9. Probabilidade f_Z(-9)=f_Y(-3)=0,25.
  • Para Y=-1: Z=2(-1)-3 = -2-3 = -5. Probabilidade f_Z(-5)=f_Y(-1)=0,30.
  • Para Y=0: Z=2\cdot 0-3 = -3. Probabilidade f_Z(-3)=f_Y(0)=0,20.
  • Para Y=2: Z=2\cdot 2-3 = 4-3 = 1. Probabilidade f_Z(1)=f_Y(2)=0,10.
  • Para Y=5: Z=2\cdot 5-3 = 10-3 = 7. Probabilidade f_Z(7)=f_Y(5)=0,07.
  • Para Y=8: Z=2\cdot 8-3 = 16-3 = 13. Probabilidade f_Z(13)=f_Y(8)=0,05.
  • Para Y=9: Z=2\cdot 9-3 = 18-3 = 15. Probabilidade f_Z(15)=f_Y(9)=0,03.
Observação: todos os z obtidos são distintos, então não há necessidade de somar probabilidades de colisão. Assim a fdp de Z fica exatamente com esses pares (z, f_Z(z)).

Resposta

(a) \mathbb{E}[Y]=0,17
(b) \operatorname{Var}(Y)=10,3011
(c) \mathbb{P}(-1\le Y\le 3)=0,60
(d) A fdp de Z é:
\;f_Z(-9)=0,25
\;f_Z(-5)=0,30
\;f_Z(-3)=0,20
\;f_Z(1)=0,10
\;f_Z(7)=0,07
\;f_Z(13)=0,05
\;f_Z(15)=0,03

Exercícios relacionados