Seja
uma variável aleatória com fdp dada por
-3
-1
0
2
5
8
9
0,25
0,30
0,20
0,10
0,07
0,05
0,03
a) Qual a esperança ?
? b) Qual a variância?
c) Calcular P(-1
d) Defina
. Encontre a fdp da variável aleatória Z.
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-3 | -1 | 0 | 2 | 5 | 8 | 9 |
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0,25 | 0,30 | 0,20 | 0,10 | 0,07 | 0,05 | 0,03 |
? b) Qual a variância?
c) Calcular P(-1
d) Defina
Passo 1
O enunciado fornece uma variável aleatória discreta
com a fdp (pmf) dada pelos pares
e
. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
Dados (peguei os números da tabela do enunciado):
- Valores de
e suas probabilidades: -
com . -
com . -
com . -
com . -
com . -
com . -
com .
-
O enunciado pede:
(a) Calcular a esperança .
(b) Calcular a variância .
(c) Calcular .
(d) Definir e encontrar a fdp (pmf) de
.
(a) Calcular a esperança
(b) Calcular a variância
(c) Calcular
(d) Definir
Passo 2
Conceito e fórmula da esperança para variável discreta (pequena aula):
- Para uma variável aleatória discreta
que toma valores com probabilidades , a esperança (valor esperado) é a soma ponderada dos valores por suas probabilidades:
Aqui
são os possíveis valores de
e
as respectivas probabilidades.
Agora aplico a fórmula usando os pares dados. Vou calcular cada produto
e depois somar:
- Para
: . - Para
: . - Para
: . - Para
: . - Para
: . - Para
: . - Para
: .
Somando todos os termos:
Faço a soma passo a passo:
Logo
Passo 3
Conceito e fórmula da variância (pequena aula):
- A variância mede a dispersão em torno da média. Uma fórmula conveniente é
onde
. Aqui
é a esperança do quadrado de
e
é o quadrado da esperança já encontrada.
Vou calcular
somando
para cada valor:
- Para
: , então . - Para
: . - Para
: . - Para
: . - Para
: . - Para
: . - Para
: .
Somando:
Faço a soma passo a passo:
Portanto
.
Já tenho
, então
Agora a variância:
Interpretação rápida: isso significa que a dispersão dos valores de
em torno da média
tem variância
. Se quiser o desvio-padrão, seria a raiz quadrada dessa quantidade.
Passo 4
Cálculo da probabilidade
.
Explicação: como
é discreta,
é a soma das probabilidades dos valores de
que satisfazem
. Olhando a lista de valores de
(da Passo 1), os valores que caem nesse intervalo são
. (Os demais estão fora:
e
.)
Somando as probabilidades correspondentes:
Passo 5
Transformação linear
: como encontrar a fdp de
(pequena aula).
- Se
com injetora sobre os pontos da support de (ou ao menos conhecível), então a probabilidade de assumir um valor é
ou, mais concretamente, para cada valor
do suporte de
calcula-se
e atribui-se
. Se dois diferentes
produzirem o mesmo
, soma-se suas probabilidades; aqui vamos verificar se isso ocorre.
Passo 6
Aplicando
a cada valor de
(vou mostrar o cálculo de cada
e manter a probabilidade associada):
- Para
: . Probabilidade . - Para
: . Probabilidade . - Para
: . Probabilidade . - Para
: . Probabilidade . - Para
: . Probabilidade . - Para
: . Probabilidade . - Para
: . Probabilidade .
Observação: todos os
obtidos são distintos, então não há necessidade de somar probabilidades de colisão. Assim a fdp de
fica exatamente com esses pares
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d) A fdp de é:
(b)
(c)
(d) A fdp de