\int \frac{\cos x}{2 \operatorname{sen} x+3} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{\cos x}{2\operatorname{sen} x + 3}\,dx.
O conteúdo é integração por substituição, pois o denominador é uma função de \operatorname{sen} x e seu derivado aparece (até constante) no numerador.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 2\operatorname{sen} x + 3.
Calculamos a diferencial de u:
du = 2\cos x\,dx \quad\Longrightarrow\quad \cos x\,dx = \frac{du}{2}.

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
\int \frac{\cos x}{2\operatorname{sen} x + 3}\,dx = \int \frac{1}{u}\,\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int \frac{du}{u}.

Passo 4

A integral de 1/u é o logaritmo natural:
\frac{1}{2}\int \frac{du}{u} = \frac{1}{2}\ln\bigl|u\bigr| + C.
Voltando a variável x, obtemos a primitiva desejada.

Resposta

\boxed{\frac{1}{2}\ln\bigl|2\operatorname{sen} x + 3\bigr| + C}.

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