\int \frac{x+1}{x^{2}+2 x+3} d x.

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \frac{x+1}{x^{2}+2x+3}\,dx
O conteúdo é integração de funções racionais simples, usando completar o quadrado no denominador e uma substituição que transforme o numerador na derivada do denominador.

Passo 2

Reescrevemos o denominador por completar o quadrado:
x^{2}+2x+3 = (x+1)^{2} + 2

Passo 3

Fazemos a substituição
u = x+1
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du = dx
e o integrando fica
\frac{x+1}{x^{2}+2x+3}\,dx = \frac{u}{u^{2}+2}\,du
portanto a integral torna-se
\int \frac{u}{u^{2}+2}\,du

Passo 4

Observamos que a derivada de u^{2}+2 é 2u, então
\int \frac{u}{u^{2}+2}\,du = \frac{1}{2}\int \frac{2u}{u^{2}+2}\,du = \frac{1}{2}\ln\bigl(u^{2}+2\bigr) + C

Resposta

\frac{1}{2}\ln\bigl((x+1)^{2}+2\bigr) + C

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