\int \frac{\cot g x}{\operatorname{sec} ^{2} x} \mathrm{~d} x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{\operatorname{cotg} x}{\operatorname{sec}^2 x}\,\mathrm{d}x.
Aqui o conteúdo é cálculo de integrais envolvendo funções trigonométricas, e vamos precisar usar identidades básicas para reescrever tudo em seno e cosseno e depois fazer uma substituição trigonométrica.

Passo 2

Usamos as identidades \operatorname{cotg} x = \dfrac{\cos x}{\sin x}
e \operatorname{sec}^2 x = \dfrac{1}{\cos^2 x}.
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\frac{\operatorname{cotg} x}{\operatorname{sec}^2 x} = \frac{\cos x/\sin x}{1/\cos^2 x} = \frac{\cos x}{\sin x}\,\cos^2 x = \frac{\cos^3 x}{\sin x}.

Passo 3

Substituímos na integral:
\int \frac{\operatorname{cotg} x}{\operatorname{sec}^2 x}\,\mathrm{d}x = \int \frac{\cos^3 x}{\sin x}\,\mathrm{d}x.
Fatoramos \cos^3 x = \cos x\cdot\cos^2 x para preparar a substituição.

Passo 4

Fazemos a substituição
u = \sin x, \quad \mathrm{d}u = \cos x\,\mathrm{d}x.
Repare que \cos^2 x = 1-\sin^2 x = 1-u^2. Assim
\frac{\cos^3 x}{\sin x}\,\mathrm{d}x = \frac{\cos x\,(1-u^2)}{u}\,\mathrm{d}x = \frac{1-u^2}{u}\,\mathrm{d}u.

Passo 5

Agora integramos em u:
\int \frac{1-u^2}{u}\,\mathrm{d}u = \int \Bigl(\frac1u - u\Bigr)\,\mathrm{d}u = \int \frac1u\,\mathrm{d}u - \int u\,\mathrm{d}u = \ln\bigl|u\bigr| - \frac{u^2}{2} + C.
Voltando a x com u=\sin x, obtemos
\ln\bigl|\sin x\bigr| - \frac{\sin^2 x}{2} + C.

Resposta

\int \frac{\operatorname{cotg} x}{\operatorname{sec}^2 x}\,\mathrm{d}x = \ln\bigl|\sin x\bigr| - \frac{\sin^2 x}{2} + C.

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