\int \frac{x^{2} d x}{\sqrt{x^{3}+1}}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{2}\,dx}{\sqrt{x^{3}+1}}.
O conteúdo principal aqui é integrar por substituição, pois a derivada de x^{3}+1 é 3x^{2}, que aparece no numerador.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^{3}+1
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du = 3x^{2}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^{2}\,dx = \frac{du}{3}.
Substituindo na integral original:
\int \frac{x^{2}\,dx}{\sqrt{x^{3}+1}} = \int \frac{1}{\sqrt{u}}\cdot\frac{du}{3} = \frac{1}{3}\int u^{-\tfrac12}\,du.

Passo 3

Agora integramos em u:
\int u^{-\tfrac12}\,du = 2\,u^{\tfrac12}+C.
Portanto
\frac{1}{3}\int u^{-\tfrac12}\,du = \frac{1}{3}\cdot\bigl(2\,u^{\tfrac12}\bigr)+C = \frac{2}{3}\sqrt{u}+C.
Voltando a x:
\frac{2}{3}\sqrt{u}+C = \frac{2}{3}\sqrt{x^{3}+1}+C.

Resposta

\int \frac{x^{2}\,dx}{\sqrt{x^{3}+1}} = \frac{2}{3}\sqrt{x^{3}+1}+C.

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