\int \frac{\operatorname{sen} 2 x d x}{\sqrt{1+\operatorname{sen}^{2} x}}. Sugestão. Faça u=1+\operatorname{sen}^{2} x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{\sin 2x}{\sqrt{1+\sin^2 x}}\,dx
usando a sugestão de fazer a substituição u=1+\sin^2 x. O conteúdo principal é reconhecer que o numerador é a diferencial de u em função de x.

Passo 2

Definimos
u = 1 + \sin^2 x.
Derivando em relação a x, obtemos
du = 2\sin x\cos x\,dx = \sin 2x\,dx.

Passo 3

Com essa relação, podemos reescrever a integral original em termos de u:
\int \frac{\sin 2x}{\sqrt{1+\sin^2 x}}\,dx = \int \frac{du}{\sqrt{u}} = \int u^{-\tfrac12}\,du.

Passo 4

Agora basta integrar em u:
\int u^{-\tfrac12}\,du = 2\,u^{\tfrac12} + C = 2\sqrt{u} + C.

Passo 5

Por fim, voltamos à variável x, substituindo u=1+\sin^2 x:
2\sqrt{u} + C = 2\sqrt{1+\sin^2 x} + C.

Resposta

2\sqrt{1+\sin^2 x} + C

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