1. \int\left(\frac{1}{x^{2}}+\frac{4}{x \sqrt{x}}+2\right) d x. Resp. \frac{1}{x}-\frac{8}{\sqrt{x}}+2 x+6.

Passo 1

O enunciado pede calcular a primitiva (antiderivada) da função dada, ou seja, encontrar
\int\left(\frac{1}{x^{2}}+\frac{4}{x \sqrt{x}}+2\right)\,dx.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A integral é indefinida (sem limites), portanto o resultado deve conter uma constante de integração C.
  • A integranda é soma de três termos: \dfrac{1}{x^{2}}, \dfrac{4}{x\sqrt{x}} e 2.

Passo 2

Primeiro simplificar cada termo escrevendo potenciações de x (isso facilita aplicar a regra do expoente).
  • \dfrac{1}{x^{2}} = x^{-2}.
  • \sqrt{x}=x^{1/2}, logo x\sqrt{x}=x\cdot x^{1/2}=x^{3/2} e \frac{4}{x\sqrt{x}}=\frac{4}{x^{3/2}}=4x^{-3/2}.
  • 2 é 2x^{0}, mas é mais simples tratar como constante.
    Assim a integral vira
\int\left(x^{-2}+4x^{-3/2}+2\right)\,dx.

Passo 3

Relembrando a regra principal que vamos usar (regra do poder):
  • Para n\neq -1, \int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Também usamos a linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais, e constantes podem ser puxadas para fora da integral. Vou aplicar essa regra termo a termo.

Passo 4

Integrando o primeiro termo \int x^{-2}\,dx.
  • Aqui n=-2. Aplicando a fórmula, \int x^{-2}\,dx=\frac{x^{-2+1}}{-2+1}+C=\frac{x^{-1}}{-1}+C=-x^{-1}+C.
  • Escrevendo de forma mais familiar: -x^{-1}=-\frac{1}{x}.
Podemos conferir mentalmente: \dfrac{d}{dx}\!\left(-\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{1}{x^{2}}, então está certo.

Passo 5

Integrando o segundo termo \int 4x^{-3/2}\,dx.
  • Puxando a constante 4 para fora, 4\int x^{-3/2}\,dx.
  • Aqui n=-\tfrac{3}{2}, então n+1=-\tfrac{1}{2}. Aplicando a fórmula, 4\cdot\frac{x^{-1/2}}{-1/2}=4\cdot\left(-2\right)x^{-1/2}=-8x^{-1/2}.
  • Escrevendo com raiz: -8x^{-1/2}=-\frac{8}{\sqrt{x}}.
Verificação rápida: \dfrac{d}{dx}\!\left(-8x^{-1/2}\right)=-8\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)x^{-3/2}=4x^{-3/2}, que é exatamente o integrando original desse termo.

Passo 6

Integrando o terceiro termo \int 2\,dx.
  • A integral de uma constante é a constante vezes x: \int 2\,dx=2x.

Passo 7

Somando as primitivas dos três termos e adicionando a constante de integração C, obtemos a primitiva geral:
-\frac{1}{x}-\frac{8}{\sqrt{x}}+2x+C.

Resposta

-\dfrac{1}{x}-\dfrac{8}{\sqrt{x}}+2x+C

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