\int_{-\infty}^{0} e^{2 x} d x

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral imprópria
\int_{-\infty}^{0} e^{2x}\,dx.
Informações dadas:
  • A função integranda é e^{2x}.
  • O intervalo de integração é (-\infty,0], ou seja, temos uma integral imprópria porque um dos limites é -\infty.
    A pergunta implícita é: essa integral converge (tem valor finito)? Em caso afirmativo, qual é esse valor?

Passo 2

Entendendo integral imprópria e como calculá-la.
  • Uma integral com limite infinito é definida como um limite de integrais com limites finitos. No nosso caso substituímos o limite -\infty por uma variável a que tende a -\infty:
\int_{-\infty}^{0} e^{2x}\,dx = \lim_{a\to -\infty}\int_{a}^{0} e^{2x}\,dx.
  • Primeiro precisamos encontrar a primitiva (antiderivada) de e^{2x}. Depois aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo à integral de a até 0 e então tomamos o limite a\to -\infty.
  • Também é útil saber que \lim_{t\to -\infty} e^{t} = 0. Em palavras: a função exponencial com expoente que vai para -\infty tende a zero (decai exponencialmente).

Passo 3

Achar a primitiva de e^{2x}.
  • Lembrete: a derivada de e^{u(x)} é u'(x)e^{u(x)} (regra da cadeia). Para inverter isso, se a derivada de u(x) é uma constante k, então uma primitiva de e^{k x} é \dfrac{1}{k}e^{k x}.
  • Aqui u(x)=2x e u'(x)=2. Portanto uma primitiva de e^{2x} é
F(x)=\frac{1}{2}e^{2x},
pois \dfrac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{2}e^{2x}\right)=\frac{1}{2}\cdot 2 e^{2x}=e^{2x}.

Passo 4

Escrever a integral como limite e aplicar a primitiva.
\int_{-\infty}^{0} e^{2x}\,dx = \lim_{a\to -\infty}\int_{a}^{0} e^{2x}\,dx = \lim_{a\to -\infty}\left[ \frac{1}{2}e^{2x} \right]_{x=a}^{x=0}.
Isso significa que avaliaremos a primitiva em 0 e em a e depois tomaremos o limite a\to -\infty.

Passo 5

Calcular a expressão e o limite.
  • Avaliando a primitiva em x=0:
\frac{1}{2}e^{2\cdot 0}=\frac{1}{2}e^{0}=\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{2}.
  • Avaliando a primitiva em x=a:
\frac{1}{2}e^{2a}.
  • Portanto
\int_{-\infty}^{0} e^{2x}\,dx = \lim_{a\to -\infty}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}e^{2a}\right) = \frac{1}{2}-\frac{1}{2}\lim_{a\to -\infty}e^{2a}.
  • Como 2a\to -\infty quando a\to -\infty, vale \lim_{a\to -\infty}e^{2a}=0. Logo
\int_{-\infty}^{0} e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cdot 0 = \frac{1}{2}.

Passo 6

Interpretação final e checagem rápida.
  • A integral converge porque a exponencial decai rapidamente quando x\to -\infty.
  • Como verificação rápida: a área sob e^{2x} desde -\infty até 0 é finita e igual a \tfrac{1}{2}. Isso bate com a ideia de que, para integrais do tipo \int_{-\infty}^{0} e^{kx}\,dx com k>0, o valor é \dfrac{1}{k}.

Resposta

\dfrac{1}{2}

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