Passo 1
O enunciado pede o valor da integral imprópria
Informações dadas:
- A função integranda é
. - O intervalo de integração é
, ou seja, temos uma integral imprópria porque um dos limites é .
A pergunta implícita é: essa integral converge (tem valor finito)? Em caso afirmativo, qual é esse valor?
Passo 2
Entendendo integral imprópria e como calculá-la.
- Uma integral com limite infinito é definida como um limite de integrais com limites finitos. No nosso caso substituímos o limite
por uma variável que tende a :
- Primeiro precisamos encontrar a primitiva (antiderivada) de
. Depois aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo à integral de até e então tomamos o limite . - Também é útil saber que
. Em palavras: a função exponencial com expoente que vai para tende a zero (decai exponencialmente).
Passo 3
Achar a primitiva de
.
- Lembrete: a derivada de
é (regra da cadeia). Para inverter isso, se a derivada de é uma constante , então uma primitiva de é . - Aqui
e . Portanto uma primitiva de é
pois
.
Passo 4
Escrever a integral como limite e aplicar a primitiva.
Isso significa que avaliaremos a primitiva em
e em
e depois tomaremos o limite
.
Passo 5
Calcular a expressão e o limite.
- Avaliando a primitiva em
:
- Avaliando a primitiva em
:
- Portanto
- Como
quando , vale . Logo
Passo 6
Interpretação final e checagem rápida.
- A integral converge porque a exponencial decai rapidamente quando
. - Como verificação rápida: a área sob
desde até é finita e igual a . Isso bate com a ideia de que, para integrais do tipo com , o valor é .