5 . \int \frac{d x}{(x-1)^{2}(x-2)} \quad \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\left(\right. resp \left.. \quad \frac{1}{x-1}+\ln \left|\frac{x-2}{x-1}\right|+C\right)

Passo 1

O que o problema pede e o que foi dado.
  • Calcular a integral indefinida \int \frac{dx}{(x-1)^{2}(x-2)}.
  • O objetivo é obter uma primitiva (a expressão geral com constante de integração C).

Passo 2

Escolha do método e ideia principal (sem ainda resolver): decomposição em frações parciais.
  • Quando se tem uma função racional cuja ordem do numerador é menor que a do denominador (é o nosso caso: numerador 1, denominador de grau 3), o caminho padrão é decompor em frações mais simples que possamos integrar termo a termo.
  • Como o denominador tem fatores lineares, sendo um deles repetido (x-1)^{2} e outro simples (x-2), a forma geral da decomposição é \frac{1}{(x-1)^{2}(x-2)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{(x-1)^{2}},onde A,B,C são constantes a determinar.

Passo 3

Transformar a identidade e encontrar A e C por valores convenientes de x.
  • Multiplicando ambos os lados por (x-1)^{2}(x-2) obtemos a identidade polinomial 1 = A(x-1)^{2} + B(x-1)(x-2) + C(x-2).
  • Escolhemos valores de x que anulam termos para achar A e C rapidamente (método “cover-up”):
    • Para x=2: o termo com B e o termo com C de C(x-2) ficam fáceis. Substituindo: 1 = A(2-1)^{2} + B(2-1)(2-2) + C(2-2) \quad\Rightarrow\quad 1 = A\cdot 1.Logo A=1.
    • Para x=1: os dois primeiros termos desaparecem: 1 = A(0) + B(0) + C(1-2) \quad\Rightarrow\quad 1 = C(-1).Logo C=-1.

Passo 4

Encontrar B escolhendo outro valor de x (ou comparando coeficientes).
  • Use x=0 (ou qualquer outro valor conveniente). Substituindo na identidade com A=1 e C=-1: 1 = 1\cdot(0-1)^{2} + B(0-1)(0-2) + (-1)(0-2).
  • Calcule cada parte: (0-1)^{2}=1,\qquad (0-1)(0-2)=(-1)(-2)=2,\qquad (0-2)=-2.
  • Assim 1 = 1 + 2B + (-1)\cdot(-2) = 1 + 2B + 2 = 3 + 2B.Portanto 2B = 1-3 = -2, ou seja B=-1.

Passo 5

Reescrever a integral usando a decomposição encontrada.
  • Com A=1, B=-1, C=-1 a decomposição é \frac{1}{(x-1)^{2}(x-2)}=\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-1}-\frac{1}{(x-1)^{2}}.
  • Logo a integral vira a soma de integrais mais simples: \int \frac{dx}{(x-1)^{2}(x-2)}=\int\frac{dx}{x-2}-\int\frac{dx}{x-1}-\int\frac{dx}{(x-1)^{2}}.

Passo 6

Integrar termo a termo, explicando as fórmulas usadas.
  • Fórmulas úteis:
    • \displaystyle \int \frac{dx}{x-a}=\ln|x-a|+C. Aqui a é constante; o resultado é logaritmo (valor absoluto).
    • \displaystyle \int (x-a)^{n}dx=\frac{(x-a)^{n+1}}{n+1}+C para n\neq-1. No caso n=-2 usamos isso.
  • Aplicando: \int\frac{dx}{x-2}=\ln|x-2|+C_1,
-\int\frac{dx}{x-1}=-\ln|x-1|+C_2,
-\int\frac{dx}{(x-1)^{2}}=-\int (x-1)^{-2}dx = -\left(\frac{(x-1)^{-1}}{-1}\right)=\frac{1}{x-1}+C_3.
  • Somando e juntando constantes C_1+C_2+C_3 em uma única constante C, obtemos \int \frac{dx}{(x-1)^{2}(x-2)}=\ln|x-2|-\ln|x-1|+\frac{1}{x-1}+C.

Passo 7

Simplificar a expressão final (combinar logaritmos) e apresentar a forma mais compacta.
  • Usando a propriedade dos logaritmos \ln a - \ln b = \ln\!\left|\dfrac{a}{b}\right|, obtemos \ln|x-2|-\ln|x-1|=\ln\left|\frac{x-2}{x-1}\right|.
  • Portanto a primitiva final é \frac{1}{x-1}+\ln\left|\frac{x-2}{x-1}\right|+C.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{x-1}+\ln\left|\frac{x-2}{x-1}\right|+C

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