Calcular a integral indefinida\int \frac{dx}{(x-1)^{2}(x-2)}.
O objetivo é obter uma primitiva (a expressão geral com constante de integração C).
Passo 2
Escolha do método e ideia principal (sem ainda resolver): decomposição em frações parciais.
Quando se tem uma função racional cuja ordem do numerador é menor que a do denominador (é o nosso caso: numerador 1, denominador de grau 3), o caminho padrão é decompor em frações mais simples que possamos integrar termo a termo.
Como o denominador tem fatores lineares, sendo um deles repetido (x-1)^{2} e outro simples (x-2), a forma geral da decomposição é\frac{1}{(x-1)^{2}(x-2)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{(x-1)^{2}},onde A,B,C são constantes a determinar.
Passo 3
Transformar a identidade e encontrar A e C por valores convenientes de x.
Multiplicando ambos os lados por (x-1)^{2}(x-2) obtemos a identidade polinomial1 = A(x-1)^{2} + B(x-1)(x-2) + C(x-2).
Escolhemos valores de x que anulam termos para achar A e C rapidamente (método “cover-up”):
Para x=2: o termo com B e o termo com C de C(x-2) ficam fáceis. Substituindo:1 = A(2-1)^{2} + B(2-1)(2-2) + C(2-2) \quad\Rightarrow\quad 1 = A\cdot 1.Logo A=1.
Para x=1: os dois primeiros termos desaparecem:1 = A(0) + B(0) + C(1-2) \quad\Rightarrow\quad 1 = C(-1).Logo C=-1.
Passo 4
Encontrar B escolhendo outro valor de x (ou comparando coeficientes).
Use x=0 (ou qualquer outro valor conveniente). Substituindo na identidade com A=1 e C=-1:1 = 1\cdot(0-1)^{2} + B(0-1)(0-2) + (-1)(0-2).
Calcule cada parte:(0-1)^{2}=1,\qquad (0-1)(0-2)=(-1)(-2)=2,\qquad (0-2)=-2.