O integrando é a função racional \dfrac{3x+2}{x(x+1)^{3}}.
O denominador fatoriza-se como x e (x+1)^{3} (um fator linear simples e um fator linear de multiplicidade 3).
A tarefa é encontrar uma antiderivada (ou primitiva) dessa função, mais a constante de integração C.
Passo 2
Escolha do método e ideia geral (explicação didática):
Para integrar uma função racional cujo grau do numerador é menor que o do denominador, um método padrão é decompor a fração em frações parciais (ou decomposição em elementos simples). Isso transforma a integral em uma soma de integrais mais simples que conhecemos.
No caso de fatores lineares repetidos como x e (x+1)^3, a decomposição tem a forma
Explicando a ideia: multiplicando ambos os lados por x(x+1)^3 obtemos uma identidade polinomial em x. Igualando coeficientes (ou avaliando em valores convenientes de x) encontramos A,B,C,D. Depois integramos termo a termo usando antiderivadas básicas:
\displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C.
\displaystyle \int (x+1)^{-n}\,dx=\frac{(x+1)^{-n+1}}{-n+1}+C para n\neq1.
Passo 3
Montar a identidade para determinar as constantes:
Multiplicando por x(x+1)^3 obtemos
3x+2 = A(x+1)^3 + Bx(x+1)^2 + Cx(x+1) + Dx.
Agora usamos valores convenientes de x para achar algumas constantes rapidamente.
Tomando x=0:
3\cdot 0 + 2 = A(0+1)^3 \quad\Rightarrow\quad 2 = A,
Determinar [B) e C por equação de coeficientes:
Vamos expandir os termos do lado direito e agrupar por potências de x. Primeiro escrevendo cada termo em potência de x:
A(x+1)^3 = A(x^3+3x^2+3x+1) = A x^3 + 3A x^2 + 3A x + A,
Bx(x+1)^2 = B(x^3+2x^2+x)= B x^3 + 2B x^2 + B x,
Cx(x+1) = C(x^2+x)= C x^2 + C x,
Dx = D x.
Somando todos:
3x+2 = (A+B)x^3 + (3A+2B+C)x^2 + (3A+B+C+D)x + A.
Comparando com o lado esquerdo 3x+2, que tem coeficientes: coeficiente de x^3 é 0, de x^2 é 0, de x é 3, e constante é 2. Já sabemos A=2 e D=1. Igualando coeficientes obtemos o sistema:
É sempre bom, quando dá tempo na prova, fazer uma verificação rápida reunindo os termos para confirmar que volta ao numerador original — aqui os coeficientes conferem com as equações que resolvemos.
Passo 6
Integrar termo a termo (revisão das fórmulas usadas e cálculo passo a passo):
Vamos integrar cada parcela separadamente.