7 . \int \frac{(3 x+2) d x}{x(x+1)^{3}} \quad \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\left(\right. resp. \left.\quad 2 \ln |x|-\frac{1}{2(x+1)^{2}}+\frac{2}{x+1}-2 \ln |x+1|+C\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{(3x+2)\,dx}{x(x+1)^{3}}.
Informações relevantes fornecidas:
  • O integrando é a função racional \dfrac{3x+2}{x(x+1)^{3}}.
  • O denominador fatoriza-se como x e (x+1)^{3} (um fator linear simples e um fator linear de multiplicidade 3).
  • A tarefa é encontrar uma antiderivada (ou primitiva) dessa função, mais a constante de integração C.

Passo 2

Escolha do método e ideia geral (explicação didática):
  • Para integrar uma função racional cujo grau do numerador é menor que o do denominador, um método padrão é decompor a fração em frações parciais (ou decomposição em elementos simples). Isso transforma a integral em uma soma de integrais mais simples que conhecemos.
  • No caso de fatores lineares repetidos como x e (x+1)^3, a decomposição tem a forma
\frac{3x+2}{x(x+1)^3}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{(x+1)^2}+\frac{D}{(x+1)^3},
onde A,B,C,D são constantes a determinar.
  • Explicando a ideia: multiplicando ambos os lados por x(x+1)^3 obtemos uma identidade polinomial em x. Igualando coeficientes (ou avaliando em valores convenientes de x) encontramos A,B,C,D. Depois integramos termo a termo usando antiderivadas básicas:
    • \displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C.
    • \displaystyle \int (x+1)^{-n}\,dx=\frac{(x+1)^{-n+1}}{-n+1}+C para n\neq1.

Passo 3

Montar a identidade para determinar as constantes:
Multiplicando por x(x+1)^3 obtemos
3x+2 = A(x+1)^3 + Bx(x+1)^2 + Cx(x+1) + Dx.
Agora usamos valores convenientes de x para achar algumas constantes rapidamente.
  • Tomando x=0:
3\cdot 0 + 2 = A(0+1)^3 \quad\Rightarrow\quad 2 = A,
portanto \,A=2.
  • Tomando x=-1:
3(-1)+2 = D(-1) \quad\Rightarrow\quad -1 = -D \quad\Rightarrow\quad D=1.

Passo 4

Determinar [B) e C por equação de coeficientes:
Vamos expandir os termos do lado direito e agrupar por potências de x. Primeiro escrevendo cada termo em potência de x:
A(x+1)^3 = A(x^3+3x^2+3x+1) = A x^3 + 3A x^2 + 3A x + A,
Bx(x+1)^2 = B(x^3+2x^2+x)= B x^3 + 2B x^2 + B x,
Cx(x+1) = C(x^2+x)= C x^2 + C x,
Dx = D x.
Somando todos:
3x+2 = (A+B)x^3 + (3A+2B+C)x^2 + (3A+B+C+D)x + A.
Comparando com o lado esquerdo 3x+2, que tem coeficientes: coeficiente de x^3 é 0, de x^2 é 0, de x é 3, e constante é 2. Já sabemos A=2 e D=1. Igualando coeficientes obtemos o sistema:
\begin{cases} A+B = 0,\\[4pt] 3A+2B+C = 0,\\[4pt] 3A+B+C+D = 3,\\[4pt] A = 2. \end{cases}
Usando A=2\]: - Da primeira equação \(2+B=0\Rightarrow B=-2.
- Na segunda 3\cdot2 + 2(-2) + C = 0 \Rightarrow 6-4+C=0 \Rightarrow C=-2.
Checagem rápida na terceira: 3A+B+C+D = 3\cdot2 + (-2) + (-2) + 1 = 6-2-2+1=3 OK.
Então A=2, B=-2, C=-2, D=1.]

Passo 5

Escrever a decomposição encontrada:
\frac{3x+2}{x(x+1)^3}=\frac{2}{x}-\frac{2}{x+1}-\frac{2}{(x+1)^2}+\frac{1}{(x+1)^3}.
É sempre bom, quando dá tempo na prova, fazer uma verificação rápida reunindo os termos para confirmar que volta ao numerador original — aqui os coeficientes conferem com as equações que resolvemos.

Passo 6

Integrar termo a termo (revisão das fórmulas usadas e cálculo passo a passo):
Vamos integrar cada parcela separadamente.
  1. Para \displaystyle \int \frac{2}{x}\,dx:
\int \frac{2}{x}\,dx = 2\int \frac{1}{x}\,dx = 2\ln|x|.
  1. Para \displaystyle \int -\frac{2}{x+1}\,dx:
\int -\frac{2}{x+1}\,dx = -2\int \frac{1}{x+1}\,dx = -2\ln|x+1|.
  1. Para \displaystyle \int -\frac{2}{(x+1)^2}\,dx: usar a regra \int (x+1)^{-2}\,dx = \frac{(x+1)^{-1}}{-1} = -(x+1)^{-1}.
\int -\frac{2}{(x+1)^2}\,dx = -2\int (x+1)^{-2}\,dx = -2\big( -(x+1)^{-1}\big) = \frac{2}{x+1}.
  1. Para \displaystyle \int \frac{1}{(x+1)^3}\,dx: usar \int (x+1)^{-3}\,dx = \frac{(x+1)^{-2}}{-2}.
\int \frac{1}{(x+1)^3}\,dx = \frac{(x+1)^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2(x+1)^2}.

Passo 7

Somar todas as parcelas e adicionar a constante de integração C:
\int \frac{3x+2}{x(x+1)^3}\,dx = 2\ln|x| -2\ln|x+1| + \frac{2}{x+1} -\frac{1}{2(x+1)^2} + C.

Resposta

2\ln|x| -2\ln|x+1| + \dfrac{2}{x+1} -\dfrac{1}{2(x+1)^2} + C

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