Passo 1
O enunciado pede calcular a integral
Informações e observações iniciais:
- A variável de integração é
. -
é um parâmetro; assumimos . Como aparece , o sinal de não altera o resultado final, então podemos tomar para facilitar as substituições trigonométricas (o resultado vale para qualquer ). - Vou reescrever o integrando de forma mais conveniente e usar uma substituição trigonométrica clássica para integrais com
.
Passo 2
Reescrever o integrando de forma simples:
Então a integral fica
Comentário amigo: essa potência
sugere que uma substituição que transforme
em algo simples é uma boa ideia — a substituição trigonométrica
costuma ser a mais direta aqui.
Passo 3
Fazer a substituição trigonométrica
. Explico passo a passo:
- Definição:
. - Diferencial:
. - Cálculo da raiz:
.
Agora substitui tudo na integral original:
Calculemos a potência:
Multiplicando pelo
:
E como
, a integral em
fica
Passo 4
Integrar em
:
onde
é a constante de integração.
Agora voltamos para a variável
. A partir de
temos
. Num triângulo retângulo correspondente:
- cateto oposto
, - cateto adjacente
, - hipotenusa
.
Logo
Substituindo em
obtemos a primitiva em
:
Passo 5
Verificação rápida (útil na prova): derivar o resultado para checar.
Se definirmos
Se definirmos
então, usando produto/quer regra com cuidado,
Simplificando:
que é justamente o integrando. Então a primitiva está correta.