1. \int \frac{d x}{\sqrt{\left(a^{2}+x^{2}\right)^{3}}}

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int \frac{dx}{\sqrt{\left(a^{2}+x^{2}\right)^{3}}}.
Informações e observações iniciais:
  • A variável de integração é x.
  • a é um parâmetro; assumimos a\neq0. Como aparece a^{2}, o sinal de a não altera o resultado final, então podemos tomar a>0 para facilitar as substituições trigonométricas (o resultado vale para qualquer a\neq0).
  • Vou reescrever o integrando de forma mais conveniente e usar uma substituição trigonométrica clássica para integrais com \sqrt{a^{2}+x^{2}}.

Passo 2

Reescrever o integrando de forma simples:
\frac{1}{\sqrt{\left(a^{2}+x^{2}\right)^{3}}}=(a^{2}+x^{2})^{-3/2}.
Então a integral fica
\int (a^{2}+x^{2})^{-3/2}\,dx.
Comentário amigo: essa potência -3/2 sugere que uma substituição que transforme \sqrt{a^{2}+x^{2}} em algo simples é uma boa ideia — a substituição trigonométrica x=a\tan\theta costuma ser a mais direta aqui.

Passo 3

Fazer a substituição trigonométrica x=a\tan\theta. Explico passo a passo:
  • Definição: x=a\tan\theta.
  • Diferencial: dx=a\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta.
  • Cálculo da raiz: \sqrt{a^{2}+x^{2}}=\sqrt{a^{2}+a^{2}\tan^{2}\theta}=a\sqrt{1+\tan^{2}\theta}=a\operatorname{sec}\theta.
Agora substitui tudo na integral original:
(a^{2}+x^{2})^{-3/2}=\big(a^{2}\operatorname{sec}^{2}\theta\big)^{-3/2}.
Calculemos a potência:
\big(a^{2}\operatorname{sec}^{2}\theta\big)^{-3/2}=a^{-3}\operatorname{sec}^{-3}\theta.
Multiplicando pelo dx:
(a^{2}+x^{2})^{-3/2}\,dx = a^{-3}\operatorname{sec}^{-3}\theta \cdot a\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta = a^{-2}\operatorname{sec}^{-1}\theta\,d\theta.
E como \operatorname{sec}^{-1}\theta=\cos\theta, a integral em \theta fica
\int (a^{2}+x^{2})^{-3/2}\,dx = a^{-2}\int \cos\theta\,d\theta.

Passo 4

Integrar em \theta:
a^{-2}\int \cos\theta\,d\theta = a^{-2}\sin\theta + C,
onde C é a constante de integração.
Agora voltamos para a variável x. A partir de x=a\tan\theta temos \tan\theta=\dfrac{x}{a}. Num triângulo retângulo correspondente:
  • cateto oposto =x,
  • cateto adjacente =a,
  • hipotenusa =\sqrt{a^{2}+x^{2}}.
Logo
\sin\theta=\frac{\text{oposto}}{\text{hipotenusa}}=\frac{x}{\sqrt{a^{2}+x^{2}}}.
Substituindo em a^{-2}\sin\theta obtemos a primitiva em x:
a^{-2}\sin\theta = \frac{x}{a^{2}\sqrt{a^{2}+x^{2}}}.

Passo 5

Verificação rápida (útil na prova): derivar o resultado para checar.
Se definirmos
F(x)=\frac{x}{a^{2}\sqrt{a^{2}+x^{2}}},
então, usando produto/quer regra com cuidado,
F'(x)=(a^{2})^{-1}\Big[(a^{2}+x^{2})^{-1/2} - x\cdot\frac{1}{2}(a^{2}+x^{2})^{-3/2}\cdot 2x\Big].
Simplificando:
F'(x)=(a^{2})^{-1}\big((a^{2}+x^{2})^{-1/2}-x^{2}(a^{2}+x^{2})^{-3/2}\big) =(a^{2})^{-1}\cdot a^{2}(a^{2}+x^{2})^{-3/2}=(a^{2}+x^{2})^{-3/2},
que é justamente o integrando. Então a primitiva está correta.

Resposta

\frac{x}{a^{2}\sqrt{a^{2}+x^{2}}}+C

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