\int \frac{x^{2}}{x^{2}-1} d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{2}}{x^{2}-1}\,dx.
Informações dadas e pontos importantes:
  • A função integranda é a razão de dois polinômios: x^{2} e x^{2}-1.
  • O denominador anula em x=\pm 1; portanto a função tem singularidades em x=\pm 1 (isso afeta o domínio da primitiva, que deve ser entendida por intervalos onde a função é contínua).
  • O objetivo é achar uma primitiva geral (com constante de integração C).

Passo 2

Escolha do método (explicando por que): quando temos uma integral de uma função racional (fração de polinômios), o primeiro passo padrão é verificar o grau do numerador em relação ao grau do denominador. Aqui o grau do numerador é 2 e o do denominador também é 2. Nesses casos convém fazer uma divisão algébrica (ou tentar escrever a fração como soma de um polinômio e uma fração própria) para simplificar. Depois, se sobrar uma fração própria com denominador factorizável (aqui x^{2}-1=(x-1)(x+1)), usamos decomposição em frações parciais. Vou seguir exatamente esse caminho.

Passo 3

Fazer a divisão algébrica simples: observar que
x^{2}=(x^{2}-1)+1.
Logo
\frac{x^{2}}{x^{2}-1}=\frac{(x^{2}-1)+1}{x^{2}-1}=1+\frac{1}{x^{2}-1}.
Isso transforma a integral original em duas integrais mais simples:
\int \frac{x^{2}}{x^{2}-1}\,dx=\int 1\,dx+\int \frac{1}{x^{2}-1}\,dx.

Passo 4

Integrar a primeira parte: a integral de 1 em relação a x é simplesmente x. Ou seja,
\int 1\,dx = x.
Agora resta calcular \displaystyle \int \frac{1}{x^{2}-1}\,dx.

Passo 5

Preparar a decomposição em frações parciais para \displaystyle \frac{1}{x^{2}-1}. Como o denominador fatoriza como (x-1)(x+1) e os fatores são lineares e distintos, existe uma decomposição da forma
\frac{1}{x^{2}-1}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1},
onde A e B são constantes a determinar. A ideia é transformar a fração em soma de frações do tipo \dfrac{\text{constante}}{x-a}, cujas integrais são logaritmos.

Passo 6

Determinar A\) e \(B\). Multiplicando ambos os lados por \((x-1)(x+1)=x^{2}-1\) obtemos \[1 = A(x+1)+B(x-1).
Expandindo e agrupando termos em x:
1 = (A+B)x + (A-B).
Igualando coeficientes (como a igualdade vale para todo x), temos o sistema
\begin{cases} A+B = 0,\\[4pt] A-B = 1. \end{cases}
Somando as duas equações: 2A = 1\], logo \(A=\dfrac{1}{2}. Substituindo em A+B=0 B=-\dfrac{1}{2}.]

Passo 7

Escrever a decomposição encontrada:
\frac{1}{x^{2}-1}=\frac{1/2}{x-1}-\frac{1/2}{x+1}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right).
Portanto a integral restante é
\int \frac{1}{x^{2}-1}\,dx=\frac{1}{2}\int\frac{1}{x-1}\,dx-\frac{1}{2}\int\frac{1}{x+1}\,dx.

Passo 8

Integrar os termos com logaritmo: a regra básica usada é
\int \frac{1}{x-a}\,dx=\ln\!\big|x-a\big|+C,
porque a derivada de \ln|x-a| é \dfrac{1}{x-a}. Aplicando isso aqui:
\frac{1}{2}\int\frac{1}{x-1}\,dx=\frac{1}{2}\ln\!\big|x-1\big|, \qquad \frac{1}{2}\int\frac{1}{x+1}\,dx=\frac{1}{2}\ln\!\big|x+1\big|.
Como havia um sinal negativo no segundo termo, juntamos:
\int \frac{1}{x^{2}-1}\,dx=\frac{1}{2}\ln\!\big|x-1\big|-\frac{1}{2}\ln\!\big|x+1\big| + C.

Passo 9

Juntar tudo (a integral completa): lembrando da parte x que já tínhamos,
\int \frac{x^{2}}{x^{2}-1}\,dx = x + \left(\frac{1}{2}\ln\!\big|x-1\big|-\frac{1}{2}\ln\!\big|x+1\big|\right)+C.
Opcionalmente, podemos combinar os logaritmos num único logaritmo:
\frac{1}{2}\ln\!\big|x-1\big|-\frac{1}{2}\ln\!\big|x+1\big|=\frac{1}{2}\ln\!\left|\frac{x-1}{x+1}\right|.
Então uma forma compacta da primitiva é
x+\frac{1}{2}\ln\!\left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C.

Resposta

x+\dfrac{1}{2}\ln\!\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|+C

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