O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{2}}{x^{2}-1}\,dx.
Informações dadas e pontos importantes:
A função integranda é a razão de dois polinômios: x^{2} e x^{2}-1.
O denominador anula em x=\pm 1; portanto a função tem singularidades em x=\pm 1 (isso afeta o domínio da primitiva, que deve ser entendida por intervalos onde a função é contínua).
O objetivo é achar uma primitiva geral (com constante de integração C).
Passo 2
Escolha do método (explicando por que): quando temos uma integral de uma função racional (fração de polinômios), o primeiro passo padrão é verificar o grau do numerador em relação ao grau do denominador. Aqui o grau do numerador é 2 e o do denominador também é 2. Nesses casos convém fazer uma divisão algébrica (ou tentar escrever a fração como soma de um polinômio e uma fração própria) para simplificar. Depois, se sobrar uma fração própria com denominador factorizável (aqui x^{2}-1=(x-1)(x+1)), usamos decomposição em frações parciais. Vou seguir exatamente esse caminho.
Preparar a decomposição em frações parciais para \displaystyle \frac{1}{x^{2}-1}. Como o denominador fatoriza como (x-1)(x+1) e os fatores são lineares e distintos, existe uma decomposição da forma
\frac{1}{x^{2}-1}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1},
onde A e B são constantes a determinar. A ideia é transformar a fração em soma de frações do tipo \dfrac{\text{constante}}{x-a}, cujas integrais são logaritmos.
Passo 6
Determinar A\) e \(B\). Multiplicando ambos os lados por \((x-1)(x+1)=x^{2}-1\) obtemos
\[1 = A(x+1)+B(x-1).
Expandindo e agrupando termos em x:
1 = (A+B)x + (A-B).
Igualando coeficientes (como a igualdade vale para todo x), temos o sistema