Passo 1
O enunciado pede para calcular a primitiva (integral indefinida) da função dada:
Informações fornecidas que importam:
- A função a integrar é
. - O denominador
anula-se em , logo há singularidades nesses pontos; portanto a primitiva será válida em intervalos que não contenham nem . - O objetivo é encontrar uma expressão para a antiderivada, mais a constante de integração
.
Passo 2
Escolha do método: aqui o integrando é uma função racional com numerador de grau menor que o denominador e o denominador fatorável em fatores lineares distintos. Nesses casos a técnica mais direta e ensinada primeiro é a decomposição em frações parciais. Em poucas palavras, essa técnica escreve a função racional como soma de frações simples do tipo
, cujas primitivas são logaritmos. Por isso vamos usar decomposição em frações parciais.
Passo 3
Fatorar o denominador:
Passo 4
Montar a decomposição em frações parciais. Como os fatores são lineares e distintos, existe
e
tais que
Multiplicando pelos fatores
obtemos a identidade para todos os
(exceto os singularidades):
Passo 5
Determinar
e
usando valores convenientes de
.
Tomando
:
Tomando
:
Passo 6
Reescrever o integrando com os coeficientes encontrados:
Portanto a integral se separa:
Passo 7
Integrar termo a termo. Usar a fórmula básica:
porque a derivada de
é
. Aplicando essa regra com as constantes fatoradas:
Subtraindo e juntando as constantes de integração (uma única constante
):
Passo 8
Simplificar usando propriedade dos logaritmos
:
Passo 9
Observações finais e cuidado prático:
- A expressão com log absoluto está correta e a constante
representa qualquer constante real. - A primitiva é válida em cada intervalo onde a função original é contínua, isto é, em
, e . O valor do log (e o sinal dentro do valor absoluto) muda conforme o intervalo, mas a fórmula com valor absoluto cobre todos os casos. - Pequeno exercício extra (para fixar): repetir o mesmo processo para
obtendo .