\int \frac{3}{x^{2}-4} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva (integral indefinida) da função dada:
\int \frac{3}{x^{2}-4}\,dx.
Informações fornecidas que importam:
  • A função a integrar é \dfrac{3}{x^{2}-4}.
  • O denominador x^{2}-4 anula-se em x=\pm 2, logo há singularidades nesses pontos; portanto a primitiva será válida em intervalos que não contenham x=2 nem x=-2.
  • O objetivo é encontrar uma expressão para a antiderivada, mais a constante de integração C.

Passo 2

Escolha do método: aqui o integrando é uma função racional com numerador de grau menor que o denominador e o denominador fatorável em fatores lineares distintos. Nesses casos a técnica mais direta e ensinada primeiro é a decomposição em frações parciais. Em poucas palavras, essa técnica escreve a função racional como soma de frações simples do tipo \dfrac{A}{x-a}, cujas primitivas são logaritmos. Por isso vamos usar decomposição em frações parciais.

Passo 3

Fatorar o denominador:
x^{2}-4=(x-2)(x+2).

Passo 4

Montar a decomposição em frações parciais. Como os fatores são lineares e distintos, existe A e B tais que
\frac{3}{(x-2)(x+2)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+2}.
Multiplicando pelos fatores (x-2)(x+2) obtemos a identidade para todos os x (exceto os singularidades):
3 = A(x+2)+B(x-2).

Passo 5

Determinar A e B usando valores convenientes de x.
Tomando x=2:
3 = A(2+2)+B(0) \quad\Rightarrow\quad 3 = 4A \quad\Rightarrow\quad A=\frac{3}{4}.
Tomando x=-2:
3 = A(0)+B(-2-2) \quad\Rightarrow\quad 3 = -4B \quad\Rightarrow\quad B=-\frac{3}{4}.

Passo 6

Reescrever o integrando com os coeficientes encontrados:
\frac{3}{x^{2}-4}=\frac{3}{(x-2)(x+2)}=\frac{3/4}{x-2}-\frac{3/4}{x+2}.
Portanto a integral se separa:
\int \frac{3}{x^{2}-4}\,dx=\int \frac{3/4}{x-2}\,dx-\int \frac{3/4}{x+2}\,dx.

Passo 7

Integrar termo a termo. Usar a fórmula básica:
\int \frac{1}{x-a}\,dx=\ln|x-a|+C,
porque a derivada de \ln|x-a| é \dfrac{1}{x-a}. Aplicando essa regra com as constantes fatoradas:
\int \frac{3/4}{x-2}\,dx=\frac{3}{4}\ln|x-2|+C_1, \qquad \int \frac{3/4}{x+2}\,dx=\frac{3}{4}\ln|x+2|+C_2.
Subtraindo e juntando as constantes de integração (uma única constante C):
\int \frac{3}{x^{2}-4}\,dx=\frac{3}{4}\ln|x-2|-\frac{3}{4}\ln|x+2|+C.

Passo 8

Simplificar usando propriedade dos logaritmos \ln a - \ln b = \ln\!\left(\dfrac{a}{b}\right):
\int \frac{3}{x^{2}-4}\,dx=\frac{3}{4}\ln\left|\frac{x-2}{x+2}\right|+C.

Passo 9

Observações finais e cuidado prático:
  • A expressão com log absoluto está correta e a constante C representa qualquer constante real.
  • A primitiva é válida em cada intervalo onde a função original é contínua, isto é, em (-\infty,-2), (-2,2) e (2,\infty). O valor do log (e o sinal dentro do valor absoluto) muda conforme o intervalo, mas a fórmula com valor absoluto cobre todos os casos.
  • Pequeno exercício extra (para fixar): repetir o mesmo processo para \int \dfrac{1}{x^{2}-9}\,dx obtendo \dfrac{1}{6}\ln\left|\dfrac{x-3}{x+3}\right|+C.

Resposta

\dfrac{3}{4}\ln\left|\dfrac{x-2}{x+2}\right|+C

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