\int \frac{d x}{\sqrt{9-x^{2}}}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int \frac{d x}{\sqrt{9-x^{2}}}.
Informações dadas: a integranda é a função \dfrac{1}{\sqrt{9-x^{2}}}. O objetivo é encontrar uma primitiva dessa função, isto é, uma função F(x) tal que F'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{9-x^{2}}}, e lembrar de adicionar a constante de integração C.

Passo 2

Por que usar uma substituição trigonométrica: a expressão dentro da raiz tem a forma a^{2}-x^{2} com a=3. Há uma substituição padrão útil para esse caso: escolher x como a\sin\theta, porque então a^{2}-x^{2}=a^{2}(1-\sin^{2}\theta)=a^{2}\cos^{2}\theta, que simplifica a raiz. Vou aplicar essa substituição:
x = 3\sin\theta.

Passo 3

Calcular d x e a raiz em função de \theta.
Derivando x em relação a \theta vem
d x = 3\cos\theta\, d\theta.
E a raiz fica
\sqrt{9-x^{2}}=\sqrt{9-(3\sin\theta)^{2}}=\sqrt{9-9\sin^{2}\theta}=\sqrt{9\cos^{2}\theta}=3\lvert\cos\theta\rvert.
Como a substituição padrão toma \theta num intervalo em que \cos\theta\ge0 (por exemplo \theta\in\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right]), podemos usar \sqrt{9-x^{2}}=3\cos\theta nesse contexto.

Passo 4

Fazer a substituição na integral. Substituindo x=3\sin\theta, d x=3\cos\theta\,d\theta e \sqrt{9-x^{2}}=3\cos\theta, obtemos:
\int \frac{d x}{\sqrt{9-x^{2}}} = \int \frac{3\cos\theta\,d\theta}{3\cos\theta}.
Simplificando o numerador e o denominador cancela-se 3\cos\theta, ficando
\int 1\, d\theta.

Passo 5

Integrar em \theta. A integral de 1 é \theta, então
\int 1\, d\theta = \theta + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Voltar para a variável x. Como fizemos x=3\sin\theta, tem-se \sin\theta=\dfrac{x}{3}. Tomando o arco-seno,
\theta=\arcsin\!\left(\frac{x}{3}\right).
Portanto a primitiva em termos de x é
\arcsin\!\left(\frac{x}{3}\right)+C.

Passo 7

Verificação rápida (derivada): para ter certeza, derivamos a resposta:
\frac{d}{dx}\left[\arcsin\!\left(\frac{x}{3}\right)\right] = \frac{1}{\sqrt{1-\left(\dfrac{x}{3}\right)^{2}}}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{3}\right) = \frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{x^{2}}{9}}}\cdot\frac{1}{3}.
Simplificando a raiz:
\frac{1}{3\sqrt{1-\dfrac{x^{2}}{9}}} = \frac{1}{3\cdot\sqrt{\dfrac{9-x^{2}}{9}}} = \frac{1}{3\cdot\dfrac{\sqrt{9-x^{2}}}{3}} = \frac{1}{\sqrt{9-x^{2}}},
ou seja, recuperamos exatamente a integranda. Confirmação feita.

Resposta

\arcsin\!\left(\dfrac{x}{3}\right)+C

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