Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
Informações dadas: a integranda é a função
. O objetivo é encontrar uma primitiva dessa função, isto é, uma função
tal que
, e lembrar de adicionar a constante de integração
.
Passo 2
Por que usar uma substituição trigonométrica: a expressão dentro da raiz tem a forma
com
. Há uma substituição padrão útil para esse caso: escolher
como
, porque então
, que simplifica a raiz. Vou aplicar essa substituição:
Passo 3
Calcular
e a raiz em função de
.
Derivando em relação a
vem
Derivando
E a raiz fica
Como a substituição padrão toma
num intervalo em que
(por exemplo
), podemos usar
nesse contexto.
Passo 4
Fazer a substituição na integral. Substituindo
,
e
, obtemos:
Simplificando o numerador e o denominador cancela-se
, ficando
Passo 5
Integrar em
. A integral de
é
, então
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Voltar para a variável
. Como fizemos
, tem-se
. Tomando o arco-seno,
Portanto a primitiva em termos de
é
Passo 7
Verificação rápida (derivada): para ter certeza, derivamos a resposta:
Simplificando a raiz:
ou seja, recuperamos exatamente a integranda. Confirmação feita.