Passo 1
O enunciado nos dá a integral imprópria
O que se pede: calcular o valor numérico dessa integral (ou seja, determinar se ela converge e, em caso afirmativo, qual é o seu valor). Informações relevantes fornecidas:
- O intervalo de integração é
, ou seja, o limite superior é infinito. - A função integranda é
, definida e contínua para todo .
Passo 2
Explicar o que significa integrar até infinito (definição de integral imprópria).
Quando a integral tem um limite infinito, ela é definida como um limite de integrais em intervalos finitos. Escrevemos:
Quando a integral tem um limite infinito, ela é definida como um limite de integrais em intervalos finitos. Escrevemos:
Se esse limite existir e for finito, dizemos que a integral converge; caso contrário, diverge. Essa é a definição que vamos usar para calcular.
Passo 3
Encontrar uma antiderivada da função
.
Primeiro escrevemos a integranda como potência:
Primeiro escrevemos a integranda como potência:
Usamos a regra de primitivação (regra da potência): para
,
Aqui
, então
Portanto uma antiderivada é
.
Passo 4
Calcular a integral definida em
usando a antiderivada, e depois aplicar o limite.
Primeiro a integral finita:
Primeiro a integral finita:
Passo 5
Tomar o limite quando
.
porque
. Assim a integral converge e seu valor é
.
Passo 6
Comentário extra (útil para a prova): padrão geral para integrais do tipo
.
- Se
a integral converge. - Se
a integral diverge.
No nosso caso, então era de esperar convergência; o cálculo mostrou que o valor é .