\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado nos dá a integral imprópria
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2}}\,dx.
O que se pede: calcular o valor numérico dessa integral (ou seja, determinar se ela converge e, em caso afirmativo, qual é o seu valor). Informações relevantes fornecidas:
  • O intervalo de integração é [1,\infty), ou seja, o limite superior é infinito.
  • A função integranda é \frac{1}{x^{2}}, definida e contínua para todo x\ge 1.

Passo 2

Explicar o que significa integrar até infinito (definição de integral imprópria).
Quando a integral tem um limite infinito, ela é definida como um limite de integrais em intervalos finitos. Escrevemos:
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2}}\,dx = \lim_{b\to\infty} \int_{1}^{b} \frac{1}{x^{2}}\,dx.
Se esse limite existir e for finito, dizemos que a integral converge; caso contrário, diverge. Essa é a definição que vamos usar para calcular.

Passo 3

Encontrar uma antiderivada da função \frac{1}{x^{2}}.
Primeiro escrevemos a integranda como potência:
\frac{1}{x^{2}} = x^{-2}.
Usamos a regra de primitivação (regra da potência): para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n=-2, então
\int x^{-2}\,dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C = \frac{x^{-1}}{-1} + C = -x^{-1} + C.
Portanto uma antiderivada é -\dfrac{1}{x}.

Passo 4

Calcular a integral definida em [1,b] usando a antiderivada, e depois aplicar o limite.
Primeiro a integral finita:
\int_{1}^{b} \frac{1}{x^{2}}\,dx = \left[-\frac{1}{x}\right]_{1}^{b} = -\frac{1}{b} -\left(-\frac{1}{1}\right) = 1 - \frac{1}{b}.

Passo 5

Tomar o limite quando b\to\infty.
\lim_{b\to\infty}\left(1 - \frac{1}{b}\right) = 1 - 0 = 1,
porque \displaystyle\lim_{b\to\infty}\frac{1}{b}=0. Assim a integral converge e seu valor é 1.

Passo 6

Comentário extra (útil para a prova): padrão geral para integrais do tipo \int_{1}^{\infty} \dfrac{1}{x^{p}}\,dx.
  • Se p>1 a integral converge.
  • Se p\le 1 a integral diverge.
    No nosso caso p=2>1, então era de esperar convergência; o cálculo mostrou que o valor é 1.

Resposta

1

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