\int \frac{d x}{x^{2}-4 x+4}

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{dx}{x^{2}-4x+4}.
O conteúdo principal aqui é integração de potências racionais e vamos precisar completar o quadrado no denominador.

Passo 2

Completar o quadrado no denominador:
x^{2}-4x+4 = (x-2)^{2}.
Logo a integral vira
\int \frac{dx}{(x-2)^{2}}.

Passo 3

Fazemos a substituição u = x-2, de modo que du = dx. A integral passa a ser
\int \frac{du}{u^{2}} = \int u^{-2}\,du.

Passo 4

Usamos a fórmula de potência para integrais:
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C \quad (n\neq -1).
Aqui n=-2, então
\int u^{-2}\,du = \frac{u^{-1}}{-1}+C = -u^{-1}+C.

Passo 5

Voltando à variável x, temos u = x-2, portanto a primitiva é
-\,\frac{1}{x-2}+C.

Resposta

-\,\frac{1}{x-2}+C

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