Potências de seno e cosseno:
\n\int \cos ^{4}(x+1) d x\n

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \cos^{4}(x+1)\,dx
Usaremos integração de potências de cosseno via fórmula de redução de potência.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x + 1 \quad\Longrightarrow\quad du = dx
Assim a integral vira
\int \cos^{4}(x+1)\,dx = \int \cos^{4}(u)\,du.

Passo 3

Aplicamos a identidade de redução de potência
\cos^{4}(u) = \frac{3 + 4\cos(2u) + \cos(4u)}{8}.
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\int \cos^{4}(u)\,du = \int \frac{3 + 4\cos(2u) + \cos(4u)}{8}\,du.

Passo 4

Integramos termo a termo:
\int \frac{3}{8}\,du = \frac{3u}{8}, \quad \int \frac{4\cos(2u)}{8}\,du = \frac{1}{2}\int \cos(2u)\,du = \frac{\sin(2u)}{4}, \quad \int \frac{\cos(4u)}{8}\,du = \frac{1}{8}\cdot\frac{\sin(4u)}{4} = \frac{\sin(4u)}{32}.

Passo 5

Somando e voltando a x:
\int \cos^{4}(x+1)\,dx = \frac{3u}{8} + \frac{\sin(2u)}{4} + \frac{\sin(4u)}{32} + C = \frac{3(x+1)}{8} + \frac{\sin(2x+2)}{4} + \frac{\sin(4x+4)}{32} + C.

Resposta

\frac{3(x+1)}{8} \;+\;\frac{\sin(2x+2)}{4}\;+\;\frac{\sin(4x+4)}{32}\;+\;C.

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